Mémoire d'habilitation à diriger des recherches - TEL - Thèses en ligne Access content directly
Habilitation À Diriger Des Recherches Year : 2012

Mémoire d'habilitation à diriger des recherches

Abstract

Mon travail s'articule autour des problèmes de satisfaction de contraintes (CSP) et de leurs extensions comme les problèmes de contraintes quantifiés (QCSP), la question essentielle étant de comprendre leur complexité. Ceux-ci peuvent être vus comme des problèmes de model-checking pour certains fragments de la logique du premier ordre. Dans le cas des CSP, Feder et Vardi ont proposé la conjecture de la dichotomie, à savoir que chaque problème CSP est soit facile (dans P) soit difficile (NP-complet). Dans le cas des QCSP, il n'existe pas encore de conjecture mature, mais une trichotomie entre P, NP-complet et Pspace-complet est envisageable.Mon manuscrit comporte deux parties.Une première partie porte sur la complexité du model checking pour les fragments syntaxiques de la logique du premier ordre et présente de manière uniforme des polychotomies pour tous ces fragments sauf CSP et QCSP. Notre méthodologie utilise trois ingrédients : algébrique (correspondance de Galois pour appréhender l'expressivité d'un ensemble de relations), combinatoire (core généralisé, i.e. sous-modèle satisfaisant les même formules pour le fragment étudié) et logique (relativisation de quantificateur(s)). En particulier, nous démontrons une tétrachotomie pour le fragment positif sans égalité de la logique du premier ordre qu'on peut voir comme une extension du QCSP pour laquelle on s'autorise la disjonction.La seconde partie porte sur des questions autour de la logique de Feder et Vardi. Cette logique est intimement liée à la classe des CSP de domaine fini: elle exhibe une dichotomie si, et seulement si, la conjecture de la dichotomie est vraie. Un problème capturé dans cette logique s'exprime en terme de motifs coloriés interdits ou encore comme un CSP de domaine infini étudiés par Bodirsky. De plus, on peut décider lorsqu'il s'agit d'un CSP fini et l'inclusion de tels problèmes. Dans le cas spécial où ces problèmes sont aussi du premier-ordre, on retrouve des questions similaires sous le nom de dualité par homomorphisme avec les travaux en combinatoire de Nesetril et. al. De tels problèmes du premier ordre apparaissent aussi en logique lorsqu'on considère les problèmes du premier ordre préservés par homomorphisme inverse (théorème de préservation de Rossman). Ces résultats de combinatoire et de logique peuvent être relevés pour s'appliquer aux problèmes de motifs interdits. En particulier, pour des classes de structures suffisamment peu denses, les problèmes de motifs interdits sont des CSP de domaine fini.
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  • HAL Id : tel-01096078 , version 1

Cite

Florent Madelaine. Mémoire d'habilitation à diriger des recherches. Logic in Computer Science [cs.LO]. Université Blaise Pascal (Clermont-Ferrand 2), 2012. ⟨tel-01096078⟩
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