Two aspects of the birational geometry of algebraic varieties: the canonical bundle formula and the Zariski decomposition
Deux aspects de la géométrie birationnelle des variétés algébriques : la formule du fibré canonique et la décomposition de Zariski
Résumé
The canonical bundle formula and the Zariski decomposition are two very important tools in birational geometry. The canonical bundle formula for a fibration f:(X,B)->Z is a way of writing K_X+B as the pullback of K_Z+B_Z+M, where B_Z carries informations about the singular fibers and M is called moduli part. It has been conjectured that there exists a birational modification Z' of Z such that M' is semi-ample, where M' is the moduli part induced by the base-change. A pseudoeffective divisor D admits a Zariski decomposition if there exist a nef divisor P and an effective divisor N such that D=P+N and P is the biggest nef divisor such that D-P is effective.
La formule du fibré canonique et la décomposition de Zariski sont deux outils très importants en géométrie birationnelle. La formule du fibré canonique pour une fibration f:(X,B)->Z consiste à écrire K_X+B comme tiré en arrière de K_Z+B_Z+M où B_Z contient des informations sur les fibres singulières et M s'appelle partie modulaire. Il a été conjecturé qu'il existe une modification birationnelle Z' de Z telle que M' est semiample, où M' est la partie modulaire induite par changement de base. Un diviseur pseudoeffectif admet une décomposition de Zariski s'il existent un diviseur nef P et un diviseur effectif N tels que D=P+N et P est "le plus grand" diviseur nef tel que D-P est effectif.