Puissance expressive des preuves circulaires - TEL - Thèses en ligne
Thèse Année : 2014

Expressive Power of Circular Proofs

Puissance expressive des preuves circulaires

Résumé

This research aims at establishing the fundamental properties of a formal system with circular proofs introduced by Santocanale, to which we add the Cut rule. We show, first, that there is a full correspondence between circular proofs and the arrows of µ-bicomplete categories. Those arrows are those that one can define purely from the following tools: finite products and coproducts, initial algebras and final coalgebras. In the category of Sets for instance, circular proofs denote the functions that one can define using Cartesian products, finite disjoint unions, induction and coinduction. We also describe a cut-elimination procedure that produces, from a finite circular proof, an acyclic, possibly infinite cut-free proof. We show that cut-elimination provides an operational semantics to circular proofs, that is, it allows to effectively compute the functions denoted by them, by acting as a kind of automaton with memory. Lastly, we tackle the problem of evaluating the expressive power of the cut-eliminating automaton. We show, by simulation, that it is strictly more expressive than higher-order pushdown automata.
Cette recherche vise à établir les propriétés fondamentales d'un système formel aux preuves circulaires introduit par Santocanale, auquel on a rajouté la règle de coupure. On démontre, dans un premier temps, qu'il y a une pleine correspondance entre les preuves circulaires et les flèches issues des catégories dites µ-bicomplètes. Ces flèches sont celles que l'on peut définir purement à partir des outils suivants: les produits et coproduits finis, les algèbres initiales et les coalgèbres finales. Dans la catégorie des ensembles, les preuves circulaires dénotent donc les fonctions qu'on peut définir en utilisant les produits cartésiens finis, les unions disjointes finies, l'induction et la coinduction. On décrit également une procédure d'élimination des coupures qui produit, à partir d'une preuve circulaire finie, une preuve sans cycles et sans coupures, mais possiblement infinie. On démontre que l'élimination des coupures fournit une sémantique opérationnelle aux preuves circulaires, c'est-à-dire qu'elle permet de calculer les fonctions dénotées par celles-ci, par le moyen d'une sorte d'automate avec mémoire. Enfin, on s'intéresse au problème de la puissance expressive de cet éliminateur de coupures, c'est-à-dire à la question de caractériser la classe des expressions qu'il peut calculer. On démontre, par une simulation, que l'éliminateur des coupures est strictement plus expressif que les automates à pile d'ordre supérieur.
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Dates et versions

tel-01154972 , version 1 (25-05-2015)

Identifiants

  • HAL Id : tel-01154972 , version 1

Citer

Jérôme Fortier. Puissance expressive des preuves circulaires. Logique en informatique [cs.LO]. Aix Marseille Université; Université du Québec à Montréal, 2014. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01154972⟩
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