Dans cette thèse nous étudions deux problèmes issus de la relativité générale : la construction de données initiales pour le problème de Cauchy des équations d’Einstein et le théorème de la masse positive. Nous construisons tout d’abord des données initiales en utilisant la méthode dite conforme introduite par Lichnerowicz [Lichnerowicz, 1944], Y. Choquet-Bruhat–J. York [Choquet-Bruhat et York, 1980] et Y. Choquet-Bruhat–J. Isenberg– D. Pollack [Choquet-Bruhat et al., 2007a]. Plus particulièrement, nous étudions les équations –de contrainte conforme– qui apparaissent dans cette méthode sur des variétés riemanniennes compactes de dimension n > 3. Dans cette thèse, nous donnons une preuve simplifiée du résultat de [Dahl et al., 2012], puis nous étendons et nous généralisons les théorèmes de M. Holst–G. Nagy–G. Tsogtgerel [Holst et al., 2009] et de D. Maxwell [Maxwell, 2009] dans le cas de données initiales à courbure moyenne fortement nonconstante. Nous donnons au passage un point de vue unifié sur ces résultats. En parallèle, nous donnons des résultats de non-existence et de non-unicité pour les équations de la méthode conforme sous certaines hypothèses. Pour le second problème, nous étudions le théorème de la masse positive sur des variétés asymptotiquement hyperboliques. Plus précisément, nous montrons que la positivité de la masse sur une variété asymptotiquement hyperbolique est préservée par les chirurgies de codimension au moins 3. Par conséquent, nous étendons l’un des résultat principaux de l’article d’E. Humbert et A. Hermann [Humbert et Herman, 2014] aux variétés asymptotiquement hyperboliques en montrant que le théorème de la masse positive est vrai sur les variétés asymptotiquement hyperboliques de dimension n > 5 pourvu qu’il le soit pour une seule variété asymptotiquement hyperbolique simplement connexe non spin de dimension n. Cette thèse ne requière aucune connaissance particulière hormis un bagage minimal en analyse géométrique.