THE HIGHER ORDER q-DOLAN-GRADY RELATIONS AND QUANTUM INTEGRABLE SYSTEMS
LES RELATIONS DE q−DOLAN-GRADY D'ORDRE SUPÉRIEUR ET CERTAINS SYSTÈMES INTÉGRABLES QUANTIQUES
Résumé
In this thesis, the connection between recently introduced algebraic structures (tridiagonal algebra, q-Onsager algebra, generalized q-Onsager algebras), related representation theory (tridiagonal pair, Leonard pair, orthogonal polynomials), some properties of these algebras and the analysis of related quantum integrable models on the lattice (the XXZ open spin chain at roots of unity) is considered.
The manuscript starts with a brief introduction on the subject. In Chapter 1 and 2, some background material is recalled: In Chapter 1, the q-Onsager and tridiagonal algebras, some of the relations with the quantum affine algebra $U_q(\widehat{sl_2})$, the $U_q(sl_2)$-loop algebra, the infinite dimensional algebra ${\cal A}_q$ and the reflection equation algebra are presented, as well as some of the known results by Terwilliger et al. about the representation theory of the q-Onsager algebra (Leonard pair, tridiagonal pair, orthogonal polynomials); In Chapter 2, the emergence of the Onsager and q-Onsager algebras in the context of quantum integrable systems is recalled. In particular, the discovery of the q-Onsager algebra and its application to the solution of the open XXZ chain for generic values of q are reviewed. Chapter 3 is devoted to the description of the main results of the thesis: (i) for the class of q-Onsager algebras associated with $\widehat{sl_2}$ and ADE type simply-laced affine Lie algebras, higher order analogs of Lusztig's relations are conjectured; (ii) for the open XXZ spin chain at roots of unity, new elements (that are divided polynomials of q-Onsager generators) are introduced and some of their properties studied. These two elements together with the two basic elements of the q-Onsager algebra generate a new algebra, which can be understood as an analog of Lusztig's quantum group for the q-Onsager algebra. In Chapter 4, open problems are proposed. In the Appendices, computer programs (MAPLE) that were used are given.
Dans cette thèse, la connexion entre certaines structures algébriques récentes (algèbres tridiagonales, algèbre q-Onsager, algèbres q-Onsager généralisées), la théorie des représentations (paire tridiagonale, paire de Leonard, polynômes orthogonaux), certaines des propriétés de ces algèbres et l'analyse de modèles intégrables quantiques sur le réseau (la châine de spin XXZ ouverte aux racines de l'unité) est considérée.
Le manuscript commence par une introduction brève sur le sujet. Dans le Chapitre 1 et 2, le matériel de base est rappelé: dans le Chapitre 1, les algèbres q-Onsager et tridiagonales, certaines relations avc l'algèbre quantique affine $U_q(\widehat{sl_2})$, avec l'algèbre de boucle $U_q(sl_2)$, avec l'algèbre de dimension infinie ${\cal A}_q$ et l'algèbre de réflexion sont présentées, ainsi que certains résultats connus de Terwilliger et al. concernant la théorie des représentation de l'algèbre q-Onsager (paire de Leonard, paire tridiagonale,polynômes orthogonaux);
Dans le Chapitre 2, l'émergence de l'algèbre de Onsager et q-Onsager dans le contexte des systèmes intégrables quantiques est rappelée. En particulier, la découverte de l'algèbre q-Onsager dans ce contexte (Baseilhac et al.)
et ses applications à la solution de la châine de spin XXZ ouverte avec conditions aux bords génériques sont revues. Le Chapitre 3 est dédié à la description des résultats principaux de cette thèse: (i) Pour la classe des algèbres q-Onsager associées à $\widehat{sl_2}$ et aux algèbres de Lie affines simplement lacées de type ADE, des relations d'ordre supéerieur analogues à celles de Lusztig sont conjecturées; (ii) pour la châine de spin XXZ ouverte aux racines de l'unité, de nouveaux éléments (polynômes divisés des générateurs de l'algèbre q-Onsager) sont introduits et leurs propriétés étudiées. Ces deux éléments, en plus des deux générateurs de base de l'algèbre q-Onsager, forment une nouvelle algèbre. Celle-ci peut être comprise comme un analogue du groupe quantique de Lustzig pour l'algèbre q-Onsager. Dans le Chapitre 4, plusieurs problèmes ouverts sont proposés. Dans les Appendices, deux programmes en calcul symbolique MAPLE ayant servis sont donnés.
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