Non-Markovian Branching processes in population dynamics and population genetics
Processus de branchements non Markoviens en dynamique et génétique des populations
Résumé
In this thesis we consider a general branching population. The lifetimes of the individuals are
supposed to be i.i.d. random variables distributed according to an arbitrary distribution. More-over, each individual gives birth to new individuals at Poisson rate independently from the other
individuals. The tree underlying the dynamics of this population is called a splitting tree. This
class of random tree was introduced by Geiger and Kersting in 1997
In a first part we are interested in the population counting process of the tree (i.e. the process
which count the number of alive individuals at given times). These processes are known as bi-
nary homogeneous Crump-Mode-Jagers processes. Moreover, these processes are known, when
properly renormalized, to converge almost surely to some random variable (which is non degen-
erate in the supercritical case). Thanks to the study of the underlying splitting tree through the
tools introduced by A. Lambert in 2010, we show a central limit theorem associated to this a.s.
convergence.
In a second part, we suppose that individuals undergo mutation at Poisson rate under the
infinitely many alleles assumption. This mechanism leads to a partition of the population by
type. We are mainly interested in the so called allelic frequency spectrum which describes the
frequency of sizes of families (i.e. sets of individuals carrying the same type) at fixed times.
Thanks to a new theorem allowing to compute the expectation of the integral of some random
process with respect to a random measure when both objects present a particular dependency
structure, we are able to compute every joints moments of the frequency spectrum. These enable
us to get central limit theorems for the frequency spectrum by adapting the proof of the first
part.
In a last part, we study some statistical problems for size constrained Galton-Watson trees. The
idea is that contour processes should be used to perform statistics on tree shaped datas, since
such processes proved to be particularly powerful in the theoretical study of trees. Our goal is to
estimate the variance of the birth distribution. This is not an easy task since conditioning killed
the independence and the homogeneity of the laws of the numbers children of the individuals.
Using that the contour process of a size constrained Galton-Watson tree converges to a Brownian
excursion as the size of the tree growth, we construct estimators of the variance of the birth
distribution. Then, we study the asymptotic behaviour of our estimators. To end, we stress our
methods on simulated datas.
Dans cette thèse nous considérons une population branchante générale où les individus vivent et
se reproduisent de manière i.i.d. La durée de vie de chaque individu est distribuée suivant une
mesure de probabilité arbitraire et chacun d’eux donne naissance à taux exponentiel. L’arbre
décrivant la dynamique de cette population est connu sous le nom de splitting tree. Ces arbres
aléatoires ont été introduits par Geiger et Kersting en 1997.
Dans un premier temps nous nous intéressons au processus stochastique qui compte le nombre
d’individus vivants à un instant donné. Ce processus est connu sous le nom de processus de
Crump-Mode-Jagers binaire homogène, et il est connu que ce processus, quand correctement
renormalisé, converge presque sûrement en temps long vers une variable aléatoire (non dégénérée
dans le cas surcritique). Grâce à l’étude du splitting tree sous-jacent à la population via les
outils introduit par A. Lambert en 2010, nous montrons un théorème central limite pour cette
convergence p.s. dans le cas surcritique.
Dans un second temps, nous supposons que les individus subissent des mutations à taux exponen-
tiel sous l’hypothèse d’infinité d’allèles. Cette procédure mène à une partition de la population à
un instant donné par familles de même type. Nous nous intéressons alors au spectre de fréquence
allélique de la population qui compte la fréquence des tailles de familles dans la population à un
instant donnée. A l’aide d’un nouveau théorème permettant de calculer l’espérance de l’intégrale
d’un processus stochastique contre un mesure aléatoire quand les deux objets présentent une
structure particulière de dépendance, nous obtenons des formules pour calculer tout les moments
joints du spectre de fréquence. En utilisant ces formules, et en adaptant la preuve de la première
partie, nous obtenons également des théorèmes centraux limites en temps long pour le spectre
de fréquence.
Une dernière partie, indépendante des autres, s’intéresse à des questions statistiques sur des
arbres de Galton-Watson conditionnés par leurs tailles. L’idée de base est que les processus de
contours devraient être utilisés pour faire des statistiques sur des données hiérarchiques dans la
mesure où ils ont déjà prouvés leur efficacité dans des cadres plus théoriques. Ce travail est un
premier pas dans cette direction. Le but est ici d’estimer la variance de la loi de naissance rendue
inaccessible par le conditionnement. On utilise le fait que le processus de contour d’un arbre de
Galton-Watson conditionné converge vers une excursion Brownienne quand la taille de l’arbre
grandit afin de construire des estimateurs de la variance à partir de forêts. On s’attache ensuite à
étudier le comportement asymptotique de ces estimateurs. Dans une dernière partie, on illustre
numériquement leurs comportements.