Processus de branchements non Markoviens en dynamique et génétique des populations - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2016

Non-Markovian Branching processes in population dynamics and population genetics

Processus de branchements non Markoviens en dynamique et génétique des populations

Résumé

In this thesis we consider a general branching population. The lifetimes of the individuals are supposed to be i.i.d. random variables distributed according to an arbitrary distribution. More-over, each individual gives birth to new individuals at Poisson rate independently from the other individuals. The tree underlying the dynamics of this population is called a splitting tree. This class of random tree was introduced by Geiger and Kersting in 1997 In a first part we are interested in the population counting process of the tree (i.e. the process which count the number of alive individuals at given times). These processes are known as bi- nary homogeneous Crump-Mode-Jagers processes. Moreover, these processes are known, when properly renormalized, to converge almost surely to some random variable (which is non degen- erate in the supercritical case). Thanks to the study of the underlying splitting tree through the tools introduced by A. Lambert in 2010, we show a central limit theorem associated to this a.s. convergence. In a second part, we suppose that individuals undergo mutation at Poisson rate under the infinitely many alleles assumption. This mechanism leads to a partition of the population by type. We are mainly interested in the so called allelic frequency spectrum which describes the frequency of sizes of families (i.e. sets of individuals carrying the same type) at fixed times. Thanks to a new theorem allowing to compute the expectation of the integral of some random process with respect to a random measure when both objects present a particular dependency structure, we are able to compute every joints moments of the frequency spectrum. These enable us to get central limit theorems for the frequency spectrum by adapting the proof of the first part. In a last part, we study some statistical problems for size constrained Galton-Watson trees. The idea is that contour processes should be used to perform statistics on tree shaped datas, since such processes proved to be particularly powerful in the theoretical study of trees. Our goal is to estimate the variance of the birth distribution. This is not an easy task since conditioning killed the independence and the homogeneity of the laws of the numbers children of the individuals. Using that the contour process of a size constrained Galton-Watson tree converges to a Brownian excursion as the size of the tree growth, we construct estimators of the variance of the birth distribution. Then, we study the asymptotic behaviour of our estimators. To end, we stress our methods on simulated datas.
Dans cette thèse nous considérons une population branchante générale où les individus vivent et se reproduisent de manière i.i.d. La durée de vie de chaque individu est distribuée suivant une mesure de probabilité arbitraire et chacun d’eux donne naissance à taux exponentiel. L’arbre décrivant la dynamique de cette population est connu sous le nom de splitting tree. Ces arbres aléatoires ont été introduits par Geiger et Kersting en 1997. Dans un premier temps nous nous intéressons au processus stochastique qui compte le nombre d’individus vivants à un instant donné. Ce processus est connu sous le nom de processus de Crump-Mode-Jagers binaire homogène, et il est connu que ce processus, quand correctement renormalisé, converge presque sûrement en temps long vers une variable aléatoire (non dégénérée dans le cas surcritique). Grâce à l’étude du splitting tree sous-jacent à la population via les outils introduit par A. Lambert en 2010, nous montrons un théorème central limite pour cette convergence p.s. dans le cas surcritique. Dans un second temps, nous supposons que les individus subissent des mutations à taux exponen- tiel sous l’hypothèse d’infinité d’allèles. Cette procédure mène à une partition de la population à un instant donné par familles de même type. Nous nous intéressons alors au spectre de fréquence allélique de la population qui compte la fréquence des tailles de familles dans la population à un instant donnée. A l’aide d’un nouveau théorème permettant de calculer l’espérance de l’intégrale d’un processus stochastique contre un mesure aléatoire quand les deux objets présentent une structure particulière de dépendance, nous obtenons des formules pour calculer tout les moments joints du spectre de fréquence. En utilisant ces formules, et en adaptant la preuve de la première partie, nous obtenons également des théorèmes centraux limites en temps long pour le spectre de fréquence. Une dernière partie, indépendante des autres, s’intéresse à des questions statistiques sur des arbres de Galton-Watson conditionnés par leurs tailles. L’idée de base est que les processus de contours devraient être utilisés pour faire des statistiques sur des données hiérarchiques dans la mesure où ils ont déjà prouvés leur efficacité dans des cadres plus théoriques. Ce travail est un premier pas dans cette direction. Le but est ici d’estimer la variance de la loi de naissance rendue inaccessible par le conditionnement. On utilise le fait que le processus de contour d’un arbre de Galton-Watson conditionné converge vers une excursion Brownienne quand la taille de l’arbre grandit afin de construire des estimateurs de la variance à partir de forêts. On s’attache ensuite à étudier le comportement asymptotique de ces estimateurs. Dans une dernière partie, on illustre numériquement leurs comportements.
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Dates et versions

tel-01465880 , version 1 (13-02-2017)
tel-01465880 , version 2 (14-03-2017)

Identifiants

  • HAL Id : tel-01465880 , version 1

Citer

Benoît Henry. Processus de branchements non Markoviens en dynamique et génétique des populations. Probabilités [math.PR]. Université de Lorraine (Nancy), 2016. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01465880v1⟩
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