Holonomy fields and random matrices: invariance by braids and permutations. - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2016

Holonomy fields and random matrices: invariance by braids and permutations.

Champs d’holonomies et matrices aléatoires : symétries de tressage et de permutation.

Résumé

This thesis focuses on planar Yang-Mills measures and planar Markovian holonomy fields. We consider two different questions : the study of planar Markovian holonomy fields with fixed structure group and the asymptotic study of the planar Yang-Mills measures when the dimension of the structure group grows. In the chapter called ``Champs markoviens d'holonomies", we define the notion of planar Markovian holonomy fields which generalizes the concept of planar Yang-Mills measures. We construct, characterize and classify the planar Markovian holonomy fields by introducing a new symmetry : the invariance under the action of braids. In particular, this shows that there is a bijection between planar Markovian holonomy fields and some equivalent classes of Lévy processes. Finally, we use these results in order to characterize Markovian holonomy fields on spherical surfaces. The Markovian holonomy fields with $\mathfrak{S}(N)$ structure group can be constructed using random ramified coverings. We prove in the chapter ``Revêtements ramifiés'' that the monodromies of these models of random ramified coverings converge as the number of sheets of the covering goes to infinity. To prove this, we develop general tools in order to study the limits of families of random matrices invariant by the symmetric group. These tools can be found in the chapter ``Partitions et géométrie'' and in the chapter ``Matrices aléatoires invariantes par le groupe symétrique''. This allows us to generalize ideas, developped by Thierry Lévy in order to study the planar Yang-Mills measure with $U(N)$ structure group, to the setting where the structure group is $\mathfrak{S}(N)$. The chapters ``Partitions et géométrie'' and ``Matrices aléatoires invariantes par le groupe symétrique'', in which we study random matrices invariant by conjugation by some subgroups of the unitary group, can be read independently from the other chapters.
Cette thèse porte sur plusieurs questions liées aux mesures de Yang-Mills planaires et aux champs markoviens d'holonomies planaires. Les problèmes sont de deux sortes : étude des champs markoviens d'holonomies planaires pour un groupe de structure donné et l'étude asymptotique des mesures de Yang-Mills lorsque la dimension du groupe tend vers l'infini. Dans le chapitre nommé ``Champs markoviens d'holonomies", on définit la notion de champs markoviens d'holonomies planaires qui axiomatise la notion de mesures de Yang-Mills planaires. En utilisant une nouvelle symétrie en théorie des probabilités, l'invariance par tresse, on construit, caractérise et classifie les champs markoviens d'holonomies planaires. En particulier, nous montrons que tout champ markovien d'holonomies planaire est associé à un processus de Lévy qui satisfait une condition de symétrie et vice-versa. Ceci nous permet de caractériser, pour les surfaces sphériques, les champs markoviens d'holonomies tels que définis précédemment par Thierry Lévy. Lorsque le processus de Lévy est à valeurs dans le groupe symétrique $\mathfrak{S}(N)$ on peut construire le champ markovien d'holonomies planaire associé grâce à un modèle de revêtements aléatoires. On s'intéresse alors à la convergence des monodromies de ce revêtement aléatoire dans le chapitre nommé ``Revêtements ramifiés'' en s'appuyant sur l'étude générale de l'asymptotique des matrices aléatoires invariantes par conjugaison par le groupe symétrique développée dans les chapitres nommés ``Partitions et géométrie'' et ``Matrices aléatoires invariantes par le groupe symétrique''. Ceci permet d'étendre les techniques développées par Thierry Lévy, pour l'étude de la mesure de Yang-Mills sur le groupe unitaire en grande dimension, afin d'étudier la mesure de Yang-Mills sur le groupe des permutations en grande dimension. Les chapitres de thèse ``Partitions et géométrie'' et ``Matrices aléatoires invariantes par le groupe symétrique'', dans lesquels sont étudiées les matrices aléatoires invariantes par conjugaison par des sous-groupes du groupe unitaire, peuvent se lire indépendamment du reste de la thèse.
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Dates et versions

tel-01495593 , version 1 (25-03-2017)

Identifiants

  • HAL Id : tel-01495593 , version 1

Citer

Franck Gabriel. Holonomy fields and random matrices: invariance by braids and permutations.. Mathematics [math]. Université Paris VI, 2016. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01495593⟩
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