Informed methods of Non-negative Matrix Factorization. A study of industrial source identification.
Méthodes informées de factorisation matricielle non-négative. Application à l’identification de sources de particules industrielles.
Résumé
NMF methods aim to factorize a non-negative observation matrix X as the product X = G·F between two
non-negative matrices G and F. Although these approaches have been studied with great interest in the scientific
community, they often suffer from a lack of robustness to data and to initial conditions, and provide multiple
solutions. To this end and in order to reduce the space of admissible solutions, the work proposed in this thesis
aims to inform NMF, thus placing our work in between regression and classic blind factorization. In addition, some
cost functions called parametric αβ-divergences are used, so that the resulting NMF methods are robust to outliers
in the data.
Three types of constraints are introduced on the matrix F, i.e., (i) the exact or bounded knowledge on some
components, and (ii) the sum to 1 of each line of F. Update rules are proposed so that all these constraints are taken
into account by mixing multiplicative methods with projection. Moreover, we propose to constrain the structure of
the matrix G by the use of a physical model, in order to discern sources which are influent at the receiver.
The considered application—consisting of source identification of particulate matter in the air around an industrial
area on the French northern coast—showed the interest of the proposed methods. Through a series of
experiments on both synthetic and real data, we show the contribution of different informations to make the factorization
results more consistent in terms of physical interpretation and less dependent of the initialization.
Les méthodes de NMF permettent la factorisation aveugle d’une matrice non-négative X en le produit
X =G · F de deux matrices non-négatives G et F. Bien que ces approches sont étudiées avec grand intérêt par la
communauté scientifique, elles souffrent bien souvent d’un manque de robustesse vis à vis des données et des
conditions initiales et peuvent présenter des solutions multiples. Dans cette optique et afin de réduire l’espace des
solutions admissibles, les travaux de cette thèse ont pour objectif d’informer la NMF, positionnant ainsi nos travaux
entre la régression et les factorisations aveugles classiques. Par ailleurs, des fonctions de coûts paramétriques
appelées divergences αβ sont utilisées, permettant de tolérer la présence d’aberrations dans les données.
Nous introduisons trois types de contraintes recherchées sur la matrice F à savoir (i) la connaissance exacte
ou bornée de certains de ses éléments et (ii) la somme à 1 de chacune de ses lignes. Des règles de mise à jour permettant de faire cohabiter l’ensemble de ces contraintes par des méthodes multiplicatives mixées à des projections
sont proposées. D’autre part, nous proposons de contraindre la structure de la matrice G par l’usage d’un modèle
physique susceptible de distinguer les sources présentes au niveau du récepteur.
Une application d’identification de sources de particules en suspension dans l’air, autour d’une région industrielle
du littoral nord de la France, a permis de tester l’intérêt de l’approche. A travers une série de tests sur des
données synthétiques et réelles, nous montrons l’apport des différentes informations pour rendre les résultats de la
factorisation plus cohérents du point de vue de l’interprétation physique et moins dépendants de l’initialisation.
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