On multifractality, Schwarzian derivative and asymptotic variance of whole-plane SLE - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2016

On multifractality, Schwarzian derivative and asymptotic variance of whole-plane SLE

Sur la mutifractalité, la dérivée schwarziene et la variance asymptotique de whole-plane SLE

Résumé

Let f an instance of the whole-plane SLE_κ conformal map from the unit disk D to the slit plane: We know that for certain values of κ, p the derivative moments E|f′(z)|^p can be written in a closed form, study that has updated a new phase of the integral means spectrum. The goal of this thesis is a study on generalized moments (|f′(z)|^p)/(|f(z)|^q) : This study permit confirm the rich algebraic structure of the whole-plane version of SLE. It will be showed that closed forms of the mixed moments E mixtes E((|f′(z)|^p)/(|f(z)|^q)) can be obtained on a countable family of parabolas in the moment plane (p, q), by extending the so-called Beliaev–Smirnov equation to this case. We also introduce the generalized integral means spectrum, β(p, q; κ), corresponding to the singular behavior of the mixed moments. The average generalized spectrum of whole-plane SLE takes four possible forms, separated by five phase transition lines in ℝ². We also propose a similar approach for the Schwarzian derivative S(f)(z) of SLE maps. Computations on the Beliaev–Smirnov equation of a certain general form of moment lead to an explicit formula of E(S(f)(z)). We finally study the McMullen asymptotic variance and prove a relation between the infinitesimal growth of the integral mean spectrum and the asymptotic variance in an expectation sense for SLE₂.
Soit f une instance du whole-plane SLE_κ : on sait que pour certaines valeurs de κ, p les moments dérivés E|f′(z)|^p peuvent être écrits sous une forme fermée, étude qui a permis de mettre au jour une nouvelle phase du spectre des moyennes intégrales. Le but de cette thèse est une étude des moments généralisés (|f′(z)|^p)/(|f(z)|^q) : cette étude permet de confirmer la structure algébrique riche du whole-plane SLE. On montre que les formes fermées des moments mixtes E((|f′(z)|^p)/(|f(z)|^q)) apparaissent sur une famille dénombrable de paraboles du plan (p, q), en étendant les équations de Beliaev-Smirnov à ce cas. Nous introduisons également le spectre généralisé β(p, q; κ), correspondant au comportement asymptotiques des moyennes intégrales mixtes. Le spectre généralisé moyen du whole-plane SLE prend quatre formes possibles, séparés par cinq séparatrices dans ℝ². Nous proposons également une approche semblable pour la dérivée Schwarziene S(f)(z) de l’application de SLE. Les calculs sur les équations de Beliaev-Smirnov d’une certaine générale forme de moment mène à une formulation explicite de E(S(f)(z)). Nous étudions finalement la variance asymptotique de McMullen et démontrons une relation entre la croissance infinitésimale du spectre de la moyenne intégrale et la variance asymptotique pour SLE₂.
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Dates et versions

tel-01581324 , version 1 (04-09-2017)

Identifiants

  • HAL Id : tel-01581324 , version 1

Citer

Xuan Hieu Ho. On multifractality, Schwarzian derivative and asymptotic variance of whole-plane SLE. General Mathematics [math.GM]. Université d'Orléans, 2016. English. ⟨NNT : 2016ORLE2060⟩. ⟨tel-01581324⟩
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