Contributions to unbiased diagrammatic methods for interacting fermions
Contributions aux méthodes diagrammatiques à précision arbitraire pour des fermions en interaction
Abstract
This thesis contributes to the development of unbiased diagrammatic approaches to the quan-
tum many-body problem, which consist in computing expansions in Feynman diagrams to
arbitrary order with no small parameter. The standard form of fermionic sign problem - expo-
nential increase of statistical error with volume - does not affect these methods as they work
directly in the thermodynamic limit. Therefore they are a powerful tool for the simulation of
quantum matter.
Part I of the thesis is devoted to the unitary Fermi gas, a model of strongly-correlated
fermions accurately realized in cold-atom experiments. We show that physical quantities can
be retrieved from the divergent diagrammatic series by a specifically-designed conformal-Borel
transformation. Our results, which are in good agreement with experiments, demonstrate that
a diagrammatic series can be summed reliably for a fermionic theory with no small parameter.
In Part II we present a new efficient algorithm to compute diagrammatic expansions to high
order. All connected Feynman diagrams are summed at given order in a computational time
much smaller than the number of diagrams. Using this technique one can simulate fermions on
an infinite lattice in polynomial time. As a proof-of-concept, we apply it to the weak-coupling
Hubbard model, obtaining results with record accuracy.
Finally, in Part III we address the problem of the misleading convergence of dressed dia-
grammatic schemes, which is related to a branching of the Luttinger-Ward functional. After
studying a toy model, we show that misleading convergence can be ruled out for a large class
of diagrammatic schemes, and even for the fully-dressed scheme under certain conditions.
Cette thèse contribue au développement d’approches diagrammatiques systématiques pour le
problème quantique à N corps, qui consistent à calculer une expansion en diagrammes de
Feynman à un ordre arbitraire sans contrainte de paramètre petit. La forme standard du prob-
lème de signe fermionique - augmentation exponentielle de l’erreur statistique avec le volume -
n’affecte pas ces méthodes car elles fonctionnent directement dans la limite thermodynamique.
Par conséquent, elles sont un outil puissant pour la simulation de la matière quantique.
La partie I de la thèse est consacrée au gaz de Fermi unitaire, un modèle de fermions
fortement corrélés réalisé avec précision dans des expériences d’atomes froids. Nous montrons
que les quantités physiques peuvent être extraites de la série diagrammatique divergente par
une transformation de Borel conforme spécifiquement conçue. Nos résultats, qui sont en accord
avec les expériences, démontrent qu’une série diagrammatique peut être resommée de manière
fiable pour une théorie fermionique sans contrainte de paramètre petit.
Dans la partie II, nous présentons un nouvel algorithme pour calculer les expansions dia-
grammatiques à ordre élevé. Tous les diagrammes Feynman connectés sont sommés à un ordre
donné avec un temps de calcul beaucoup plus petit que le nombre de diagrammes. En utilisant
cette technique, on peut simuler des fermions sur un réseau infini en temps polynomial. Pour
preuve, nous l’appliquons au modèle d’Hubbard à couplage faible, en obtenant des résultats
avec une précision record.
Enfin, dans la partie III, nous abordons le problème de la convergence erronée des schémas
diagrammatiques habillés, qui est lié à une ramification de la fonctionnelle de Luttinger-Ward.
Après avoir étudié un modèle-jouet, nous montrons que le caractère erroné de la convergence
peut être exclu pour une grande classe de schémas diagrammatiques, et aussi pour le schéma
complètement habillé, sous certaines conditions.
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