Directed polymers and rough paths
Polymères dirigés et chemins rugueux
Résumé
Stochastic Partial Differential Equations are an essential tool for the analysis of scaling limits of a diverse array of microscopic models coming from other fields such as physics and chemistry.This type of equations correspond to classical partial differential equations to which one has added a random forcing which is typically very irregular ; the most basic example is perhaps the Stochastic Heat Equation, one of whose versions is studied in this thesis. The roughness of the potential turns the analysis of solutions to these probles a lot more difficult than the classic case. In fact, there are cases where solutions can be understood only in the sense of distributions, i.e. as generalised functions. There are some critical cases, such the Kardar-Parisi-Zhang (KPZ)equation where, even though the solutions can be shown to be continuous (even Hölder continuous) they are not regular enough so that some non-linear terms appearing in this equation are well defined. In the last 20 years certain techniques have been developed for the analysis of these equations, among which there is the theory of Rough Paths by T. Lyons (1998), their branched version introduced by M. Gubinelli (2010) and more recently the theory of Regularity Structures of M. Hairer (2014) and for which he was awarded the Fields Medal in 2014. All these techniques have as main idea that of renormalisation, coming from physics. In particular, Wick renormalisation plays an essential role in Regularity Structures. In this work we develop Wick products and polynomials from a Hopf-algebraic point of view, inspired by G.-C. Rota's Umbral Calculus. We also explore the general theory of Rough Paths and in particular in their branched version, where we show some new results in the direction of incorporating an analogue of Wick renormalisation as found in Hairer's Regularity Structures. Finally, the semi-discrete multi-layer polymer model, introduced by I. Corwin and A. Hammond (2014) is studied. We show the convergence of its partition function towards a stochastic process known as (the solution to) "the multi-layer Stochastic Heat Equation" introduced by N. O'Connell and J. Warren (2011) some years earlier. We remark that at the time of writing of this work there were no results allowing to interpret this last process as the solution to a singular SPDE as is the case, for example, for the KPZ equation. This was one of the main sources of inspiration of this work.
Les Équations aux Dérivées Partielles Stochastiques (SPDE en anglais) sont un outil essentiel pour l'analyse des limites d'échelle de divers modèles microscopiques provenant d'autres aires des sciences telles que la physique ou la chimie. Ce type d'équations corresponds à une équations aux dérivées partielles classique à laquelle on a ajouté un terme de force externe aléatoire qui est très irrégulier ; l'exemple le plus basique est peut-être l'Équation de la Chaleur Stochastique, qui est étudiée dans une de ses version dans cette thèse. L'irrégularité du potentiel fait que l'analyse des solutions à ce problème soit beaucoup plus compliqué que dans le cas classique. En fait, il y a des cas où les solutions ne peuvent être définies que dans le sens des distributions (ou des fonctions généralisées). Il y a des cas critiques comme l'équations de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) dans une dimension d'espace où, bien que ces solutions sont Hölderiennes, elles ne sont pas assez régulières pour définir quelques termes non linéaires qu'y apparaissent. Durant les 20 dernières années des techniques pour l'analyse de ces équations ont été développées parmi lesquelles il y a les chemins rugueux géométriques de T. Lyons (1998), les chemins rugueux ramifiés de M. Gubinelli (2010) et plus récemment les structures de régularité de M. Hairer (2014), pour laquelle ce dernier à remporté la médaille Fields en 2014. Toutes ces techniques ont comme idée centrale le concept de renormalisation (provenant de la physique). En particulier, la renormalisation de Wick joue un rôle essentiel dans la théorie des structures de régularité. Dans ce travail nous développons les produits et polynômes de Wick d'un point de vue algébrique inspiré du "calcul ombrale" de G.-C. Rota. Nous explorons aussi la théorie générale des chemins rugueux et leur version ramifié en particulier, où nous donnons des résultats nouveaux dans la direction d'incorporer un analogue de la renormalisation de Wick existant dans la théorie de Hairer. Finalement, le modèle de polymère semidiscret multicouches, introduit par I. Corwin et A. Hammond (2014) est étudié. Nous montrons la convergence de sa fonction de partition vers le processus stochastique appelé "la solution de l'équation de la chaleur stochastique multicouches" par N. O'Connell et J. Warren (2011) quelques années avant. Nous remarquons qu'au moment de rédaction de cette thèse il n'existait aucun résultat permettant interpréter ce dernier processus dans le continuum comme la solution d'une SPDE singulière comme dans le cas, par exemple, de l'équation de KPZ. Ceci a été une des principales sources d'inspiration pour ce travail.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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