Limit theorems for a multi-type Galton-Watson process in random independent environment
Théorèmes limite pour un processus de Galton-Watson multi-type en environnement aléatoire indépendant
Résumé
The theory of multi-type branching process in i.i.d. environment is considerably less developed than for the univariate case, and fundamental questions are up to date unsolved. Answers demand a deep understanding of the behaviour of products of i.i.d. matrices with non-negative entries.
Under mild assumptions, when the probability generating functions of the reproduction laws are fractional-linear, the survival probability of the multi-type branching process in random environment up to moment n is proportional to 1/√n as n → ∞.
Techniques for univariate branching processes in random environment and methods from the theory of products of i.i.d. random matrices are required.
La théorie des processus de branchement multi-type en environnement i.i.d. est considérablement moins développée que dans le cas univarié, et les questions fondamentales ne sont pas résolues en totalité à ce jour. Les réponses exigent une compréhension profonde du comportement des produits des matrices i.i.d. \`a coefficients positifs.
Sous des hypothèses assez générales et lorsque les fonctions génératrices de probabilité des lois de reproduction sont "linéaire fractionnaires'', nous montrons que la probabilité de survie à l'instant n du processus de branchement multi-type en environnement aléatoire est proportionnelle 1/√n lorsque n → ∞.
La déemonstration de ce réesultat suit l'approche développée pour étudier les processus de branchement uni-variés en environnement aléatoire i. i. d. Il utilise de façon cruciale des résultats récents portant sur les fluctuations des normes de produits de matrices aléatoires i.i.d.
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