Non-asymptotic estimates of invariant measures and regularisation by a degenerate noise for a chain of ordinary differential equations
Estimations non-asymptotiques de mesures invariantes et régularisation par un bruit dégénéré de chaînes d'Équations Différentielles Ordinaires
Résumé
In the first part of this thesis, we aim to estimate the invariant distribution of an ergodic process driven by a Stochastic Differential Equation. The ergodic theorem suggests us to consider the empirical measure associated with a discretization scheme of the process which can be regarded as a discretization of the occupation measure of the process.Lamberton and Pagès introduced an algorithm of discretization with decreasing time steps which allows the convergence of the empirical measure toward the invariant distribution of the process, they also provide a central limit theorem (CLT) which asymptotically quantifies the deviations between these both measures.We establish non-asymptotic concentration inequality for the empirical measure deviations (in accordance with the previously mentioned CLT), and also we give some controls of the solution of the associated Poisson equation which is useful for this concentration inequalities.In a second part, we establish some Schauder controls associated with parabolic equations related with a degenerate stochastic system, where the drift is a vector field satisfying a weak Hörmander condition like.But we aim to suppose only the minimal H"older regularity.This work is an extension of the estimates given by Delarue and Menozzi (2010). Finally, our approach allows us to proof the strong uniqueness of the considered stochastic equation in a H"older regularity framework. Our results extend the controls of Chaudru de Raynal (2017) for the dimension equal to 2.
Dans la première partie de cette thèse, nous chercherons à estimer la mesure invariante d’un processus ergodique dirigé par une Équation Différentielle Stochastique. Le théorème ergodique nous suggère de considérer la mesure empirique associée à un schéma d’approximation du processus sous-jacent qui peut se voir comme le pendant
discret de la mesure d’occupation dudit processus. Dans [LP02], Lamberton et Pagès ont introduit un algorithme de discrétisation à pas décroissant qui assure la convergence de la mesure empirique du schéma vers la mesure invariante du processus considéré ainsi qu’un théorème central limite (TCL) quantifiant asymptotiquement l’écart entre ces deux mesures. Nous établissons des inégalités de concentration non-asymptotiques pour les déviations de la mesure empirique (cohérentes avec le TCL mentionné ci-avant), ainsi que des contrôles sur la solution de l’équation de Poisson associée, utiles pour ces inégalités. Dans une seconde partie, nous établissons des estimées de Schauder liées à des équations paraboliques associées à un système stochastique dégénéré, où la dérive est un champ
de vecteurs vérifiant une condition de type Hörmander (faible) mais en cherchant la régularité Hölder minimale. Ce travail fait suite à l’article de Delarue et Menozzi [DM10]. Enfin, notre approche nous permet de montrer l’unicité forte du système stochastique considéré dans le cadre de coefficients Hölder, étendant ainsi le résultat obtenu en
dimension 2 par Chaudru de Raynal [CdR17].
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