Incompressible optimal transport : dependence to the data and entropic regularization
Transport optimal incompressible : dépendance aux données et régularisation entropique
Résumé
This thesis focuses on Incompressible Optimal Transport, a minimization problem introduced by Brenier in the late 80's, aiming at describing the evolution of an incompressible and inviscid fluid in a Lagrangian way , i.e. by prescribing the state of the fluid at the initial and final times and by minimizing some functional among the set of admissible dynamics. This text is divided into two parts.In the first part, we study the dependence of this optimization problem with respect to the data. More precisely, we analyse the dependence of the pressure field, the Lagrange multiplier corresponding to the incompressibility constraint, with respect to the endpoint conditions, described by a probability measure γ determining the state of the fluid at the initial and final times. We show in Chapter 2 by purely variational methods that the gradient of the pressure field, as an element of a space that is close to the dual of C^1, is a Hölder continuous function of γ for the Monge-Kantorovic distance. On the other hand, we prove in Chapter 4 that for all r>1 the pressure field, as an element of L^r_t L^1_x, cannot be a Lipschitz continuous function of γ for the Monge-Kantorovic distance. This last statement is linked to an ill-posedness result proved in Chapter 3 for the so-called kinetic Euler equation, a kinetic PDE interpreted as the optimality equation of the Incompressible Optimal Transport problem.In the second part, we are interested in the entropic regularization of the Incompressible Optimal Transport problem: the so-called Brödinger problem, introduced by Arnaudon, Cruzeiro, Léonard and Zambrini in 2017. On the one hand, we prove in Chapter 5 that similarly to what happens in the Incompressible Optimal Transport case, to a solution always corresponds a scalar pressure field acting as the Lagrange multiplier for the incompressibility constraint. On the other hand, we prove in Chapter 6 that when the diffusivity coefficient tends to zero, the Brödinger problem converges towards the Incompressible Optimal Transport problem in the sense of Gamma-convergence, and with convergence of the pressure fields. The results of Chapter 6 come from a joint work with L. Monsaingeon.
Cette thèse porte sur le problème de transport optimal incompressible, un problème introduit par Brenier à la fin des années 80 dans le but de décrire l’évolution d’un fluide incompressible et non-visqueux de façon lagrangienne, ou autrement dit en fixant l’état initial et l’état final de ce fluide, et en minimisant une certaine fonctionnelle sur un ensemble de dynamiques admissibles. Ce manuscrit contient deux parties.Dans la première, on étudie la dépendance du problème de transport optimal incompressible par rapport aux données. Plus précisément, on étudie la dépendance du champ de pression (le multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte d’incompressibilité) par rapport à la mesure γ prescrivant l’état initial et l’état final du fluide. On montre au Chapitre 2 par des méthodes variationnelles que le gradient de la pression, en tant qu’élément d’un espace proche du dual des fonctions C^1, dépend de γ de façon hölderienne pour la distance de Monge-Kantorovic. En contrepartie, on montre au Chapitre 4 que pour tout r > 1, le champ de pression dans l'espace de Lebesgue L^r_t L^1_x ne peut pas être une fonction lipschitzienne de γ. Ce résultat est lié au caractère mal-posé de l’équation d’Euler cinétique, une équation cinétique s’interprétant comme l’équation d’optimalité dans le problème de transport optimal incompressible, à laquelle le Chapitre 3 de cette thèse est dédié.Dans une seconde partie, on s’intéresse à la régularisation entropique du problème de transport optimal incompressible, introduit par Arnaudon, Cruzeiro, Léonard et Zambrini en 2017 sous le nom de problème de Brödinger. On prouve au Chapitre 5 que comme dans le cas du transport optimal incompressible, on peut associer à toute solution un champ scalaire de pression agissant comme multiplicateur de Lagrange pour la contrainte d’incompressibilité. On montre ensuite au Chapitre 6 que lorsque le paramètre de régularisation tend vers zéro, le problème de Brödinger converge vers le problème de transport optimal incompressible au sens de la Γ-convergence, et avec convergence des champs de pression. Ce dernier chapitre est issu d'un travail effectué en collaboration avec L. Monsaingeon.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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