Dans cette thèse, nous nous intéressons aux développements des méthodes hybrides d'ordre élevé (Hybrid High-Order, HHO, en anglais) pour la mécanique des solides non-linéaire. Les méthodes HHO sont formulées en termes d'inconnues de face portées par le squelette du maillage et d'inconnues dans les cellules qui sont ajoutées pour des raisons d'approximation et de stabilité de la méthode. Ces méthodes présentent de nombreux avantages dans le cadre de la mécanique des solides~: \textit{(i)} formulation primale~; \textit{(ii)} suppression du verrouillage numérique dû aux problèmes d'incompressibilité~; \textit{(iii)} ordre d'approximation arbitraire $k\geq1$~; \textit{(iv)} utilisation de maillages polyédriques avec des interfaces possiblement non-conformes~; et \textit{(v)} coûts numériques attractifs grâce à la condensation statique qui permet d'éliminer les inconnues portées par les cellules tout en maintenant un stencil compact. Dans cette thèse, des méthodes HHO en version primale sont développées pour résoudre le problème des grandes déformations hyperélastiques et des petites déformations plastiques. Une extension aux grandes déformations plastiques est ensuite présentée en utilisant le cadre des déformations logarithmiques. Enfin, un couplage avec une approche de type Nitsche a permis de traiter le problème du contact unilatéral de Signorini avec frottement de Tresca. Des taux de convergence optimaux en $h^{k+1}$ ont été prouvés en norme d'énergie. L'ensemble de ces méthodes ont été implémentées à la fois dans la librairie open-source DiSk++ et dans le code de calcul industriel open-source code_aster. De nombreux cas-tests bi- et tridimensionnels ont été réalisés afin de valider ces méthodes et de les comparer par rapport aux méthodes éléments finis $H^1$-conformes et mixtes.