On the homotopy groups of the K(2)-localisation of a 2-local finite spectrum
Sur les groupes d'homotopie de la localisation en deuxième K-théorie de Morava d'un spectre fini 2-local
Résumé
Let $A_1$ be any spectrum in a class of finite spectra whose mod $2$ cohomology is isomorphic to a free module of rank one over the subalgebra $\mathcal{A}(1)$ of the Steenrod algebra. Let $E_{C}$ be the second Morava-$E$ theory associated to a universal deformation of the formal completion of the supersingular elliptic curve $(C) : y^{2}+y = x^{3}$ defined over $\mathbb{F}_{4}$ and $\mathbb{S}^1_{C}$ a certain closed subgroup of the Morava stabiliser group. As first steps to understand the $K(2)$-localisation of the $2$-local sphere spectrum, we analyse, in this thesis, the topological duality spectral sequence for $E_C^{h\mathbb{S}^1_C}\wedge A_1$, constructed by Irina Bobkova and Paul Goerss. In particular, we compute the $\mathrm{E}_1$-term of the latter and prove that its edge homomorphism is surjective.
Soit $A_1$ un spectre dans une classe des spectres finis dont la cohomologie modulo 2 est isomorphe à un module libre de rang un sur la sous-algèbre $\mathcal{A}(1)$ de l'algèbre de Steenrod. Soit $E_{C}$ la seconde E-théorie de Morava associée à une déformation universelle de la complétion formelle de la courbe elliptique supersingulière $(C) : y^{2}+y = x^{3}$ définie sur $\mathbb{F}_{4}$ et $\mathbb{S}^1_{C}$ un certain sous-groupe fermé du groupe des stabilisateurs de Morava. Dans la perspective de mieux comprendre le type d'homotopie de la localisation en $K(2)$ du spectre des sphères $2$-local, nous analysons la suite spectrale de dualité topologique pour $E_C^{h\mathbb{S}^1_C}\wedge A_1$, construite par Irina Bobkova and Paul Goerss. En particulier, nous calculons le term $\mathrm{E}_1$ de la dernière et montre que son application du bord est surjective.
Loading...