Nous apportons dans cette thèse quelques contributions à l’étude théorique et numérique de certains problèmes de contrôle stochastique, ainsi que leurs applications aux mathématiques financières et à la gestion des risques financiers. Ces applications portent sur des problématiques de valorisation et de couverture faibles de produits financiers, ainsi que sur des problématiques réglementaires. Nous proposons des méthodes numériques afin de calculer efficacement ces quantités pour lesquelles il n’existe pas de formule explicite. Dans la première partie, nous étudions le problème de valorisation partielle d’options européennes, et en particulier le problème de sur-réplication avec probabilité p. Dans le chapitre 3, lorsque le marché est linéaire, nous démontrons qu’il est possible de résoudre explicitement le problème de contrôle optimal, et que la valeur de celui-ci s’écrit essentiellement en fonction de la loi du prix du sous-jacent à la date terminale. Cette formulation permet une nouvelle démonstration de formules explicites dans le modèle de Black & Scholes pour des options vanille. De plus, nous calculons une vitesse de convergence lors de l’approximation par un problème avec contrôles bornés. Dans le chapitre 4, nous considérons un marché non-linéaire, et nous approchons le problème par celui où l’on n’autorise que des contrôles constants par morceaux. Nous démontrons la convergence lorsque le pas de discrétisation temporelle tend vers 0. Lorsque la diffusion du log-prix du sous-jacent est brownienne, nous couplons cette discrétisation temporelle à une discrétisation spatiale par différences finies et démontrons la convergence vers la fonction valeur. Des applications numériques sont données, montrant que le schéma converge et montrant la nécessité pratique des conditions de compatibilité théoriques sur les paramètres de discrétisation. La seconde partie de cette thèse est consacrée à l’approximation de mesures de risques sur la distribution du bilan futur d’une banque ou d’une société d’assurance. Ce problème est issu de la réglementation des compagnies d’assurance Solvabilité II. Dans un modèle Gaussien à taux stochastiques, l’entreprise vend un produit financier et se couvre discrètement dans le temps. Nous développons une méthode numérique permettant le calcul efficace, en dimension modérée, de la distribution recherchée. Nous démontrons que les mesures de risque spectrales, calculées en la distribution approchée, convergent vers les mesures de risque sur la distribution inconnue. Nous donnons des applications numériques montrant l’efficacité de la méthode, en comparaison avec la méthodes des simulations imbriquées. La troisième partie est consacrée à l’étude de problèmes de switching avec incertitude sur les coûts. Nous introduisons une nouvelle famille de problèmes de contrôle stochastique qui généralisent les problèmes de switching usuels. Nous montrons, sous des hypothèses classiques pour le générateur de l’équation rétrograde, et sous l’hypothèse de positivité des coûts de changement d’état, que la valeur de l’un de ces problèmes de contrôle est donné par la composante Y de la solution d’une équation rétrograde avec réflexions obliques. Nous en déduisons l’unicité des solutions à ces équations, sous réserve d’existence. Nous montrons ensuite que les équations susdites admettent effectivement des solutions, dans le cas que nous appelons “non-contrôlé” et “irréductible”, sans hypothèse de positivité des coûts. Une description géométrique du domaine de réflexion est donnée, en fonctions des coûts.