Control of McKean-Vlasov systems and applications
Problèmes de contrôle de type McKean-Vlasov et applications
Résumé
This thesis deals with the study of optimal control of McKean-Vlasov dynamics and its applications
in mathematical finance. This thesis contains two parts.
In the first part, we develop the dynamic programming (DP) method for solving McKean-Vlasov
control problem. Using suitable admissible controls, we propose to reformulate the value function of the
problem with the law (resp. conditional law) of the controlled state process as sole state variable and get
the flow property of the law (resp. conditional law) of the process, which allow us to derive in its general
form the Bellman programming principle. Then by relying on the notion of differentiability with respect to
probability measures introduced by P.L. Lions [Lio12], and Itô’s formula along measure-valued processes,
we obtain the corresponding Bellman equation. At last, we show the viscosity property and uniqueness
of the value function to the Bellman equation. In the first chapter, we summarize some useful results of
differential calculus and stochastic analysis on the Wasserstein space. In the second chapter, we consider
the optimal control of nonlinear stochastic dynamical systems in discrete time of McKean-Vlasov type.
The third chapter focuses on the stochastic optimal control problem of McKean-Vlasov SDEs without
common noise in continuous time where the coefficients may depend upon the joint law of the state
and control. In the last chapter, we are interested in the optimal control of stochastic McKean-Vlasov
dynamics in the presence of common noise in continuous time.
In the second part, we propose a robust portfolio selection model, which takes into account ambiguity
about both the expected rate of return and correlation matrix of multiply assets, in a continuous-time mean-variance
setting. This problem is formulated as a mean-field type differential game. Then we derive a
separation principle for the associated problem. Our explicit results provide an explanation to under diversification,
as documented in empirical studies.
Cette thèse étudie le contrôle optimal de la dynamique de type McKean-Vlasov et ses applications en
mathématiques financières. La thèse contient deux parties.
Dans la première partie, nous devéloppons la méthode de la programmation dynamique pour résoudre
les problèmes de contrôle stochastique de type McKean-Vlasov. En utilisant les contrôles admissibles appropriés,
nous pouvons reformuler la fonction valeur en fonction de la loi (resp. la loi conditionnelle) du
processus comme seule variable d’état et obtenir la propriété du flot de la loi (resp. la loi conditionnelle)
du processus, qui permettent d’obtenir en toute généralité le principe de la programmation dynamique.
Ensuite nous obtenons l’équation de Bellman correspondante, en s’appuyant sur la notion de différentiabilité
par rapport aux mesures de probabilité introduite par P.L. Lions [Lio12] et la formule d’Itô pour
le flot de probabilité. Enfin nous montrons la propriété de viscosité et l’unicité de la fonction valeur
de l’équation de Bellman. Dans le premier chaptire, nous résumons quelques résultats utiles du calcul
différentiel et de l’analyse stochastique sur l’espace de Wasserstein. Dans le deuxième chapitre, nous
considérons le contrôle optimal stochastique de système à champ moyen non linéaire en temps discret.
Le troisème chapitre étudie le problème de contrôle optimal stochastique d’EDS de type McKean-Vlasov
sans bruit commun en temps continu où les coefficients peuvent dépendre de la loi joint de l’état et du
contrôle, et enfin dans le dernier chapitre de cette partie nous nous intéressons au contrôle optimal de la
dynamique stochastique de type McKean-Vlasov en présence de bruit commun en temps continu.
Dans la deuxième partie, nous proposons un modèle d’allocation de portefeuille robuste permettant
l’incertitude sur la rentabilité espérée et la matrice de corrélation des actifs multiples, dans un cadre
de moyenne-variance en temps continu. Ce problème est formulé comme un jeu différentiel à champ
moyen. Nous montrons ensuite un principe de séparation pour le problème associé. Nos résultats explicites
permettent de justifier quantativement la sous-diversification, comme le montrent les études empiriques.
Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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