Learning with tree-based tensor formats : Application to uncertainty quantification in vibroacoustics
Apprentissage statistique avec des formats de tenseurs basés sur des arbres : Application à la quantification d’incertitudes en vibroacoustique
Résumé
Many problems require the evaluation of complex parametrized models for many instances of the parameters, particularly for uncertainty quantification. When the model is costly to evaluate, it is usually approximated by another model cheaper to evaluate. The aim of this thesis is to develop statistical learning methods using model classes of functions in treebased tensor formats for the approximation of highdimensional functions, both for supervised and unsupervised learning tasks. These model classes, which are rank-structured functions parametrized by a tree-structured network of low-order tensors, can be interpreted as deep neural networks with particular architecture and activation functions. The approximation is obtained by empirical risk minimization over the set of functions in tree-based tensor format. For a high-dimensional function, or when little information on the function is available, the model class has to be carefully selected. We propose stable learning algorithms that adapt the tree and ranks and select the model based on crossvalidation estimates. Furthermore, some functions might only exhibit a low-rank structure after a suitable change of variables. For such cases, we propose adaptive learning algorithms with model classes combining tree-based tensor formats and changes of variables. The proposed algorithms are applied to uncertainty quantification in vibroacoustics. This thesis is included in the Joint Laboratory of Marine Technology between Naval Group, Centrale Nantes and Université de Nantes, and in the Eval-PI project.
De nombreux problèmes nécessitent l’évaluation de modèles paramétrés complexes pour de nombreuses valeurs des paramètres, en particulier pour la quantification d’incertitudes. Quand le modèle est coûteux à évaluer, il est souvent approximé par un autre modèle, moins coûteux à évaluer. L’objectif de cette thèse est de développer des méthodes d’apprentissage statistique utilisant des classes de fonctions au format de tenseurs basés sur des arbres pour l’approximation de fonctions en haute dimension, pour l’apprentissage supervisé et non supervisé. Ces classes de fonctions, qui sont structurés par rangs et paramétrées par un réseau de tenseurs de faible ordre à structure d’arbre, peuvent être interprétées comme des réseaux de neurones profonds avec une architecture et des fonctions d’activation particulières. L’approximation est obtenue par minimisation du risque empirique sur l’ensemble des fonctions au format de tenseurs basés sur des arbres. Pour l’approximation de fonctions en haute dimension, ou quand peu d’information sur la fonction est disponible, la classe de fonctions doit être soigneusement choisie. Nous proposons des algorithmes d’apprentissage stables qui adaptent l’arbre et les rangs et sélectionnent le modèle en s’appuyant sur des estimateurs de validation croisée. De plus, certaines fonctions peuvent n’exhiber une structure de faible rang qu’après un changement de variables adapté. Dans de tels cas, nous proposons des algorithmes d’apprentissage adaptatifs avec des classes de fonctions combinant formats de tenseurs basés sur des arbres et changements de variables. Les algorithmes proposés sont appliqués à la quantification d’incertitudes en vibroacoustique. Cette thèse est incluse dans le Joint Laboratory of Marine Technology entre Naval Group, Centrale Nantes et l’Université de Nantes, et dans le projet Eval-PI.
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