Adaptive control of time-delay systems to counteract pathological brain oscillations
Commande adaptative de systèmes à retards pour l'atténuation d'oscillations cérébrales pathologiques
Résumé
Beta oscillations (10-30 Hz) observed in the basal ganglia are a well-known biomarker of Parkinson's disease, correlated with increased symptoms of akinesia and bradykinesia. Deep brain stimulation (DBS) leads to a reduction of these oscillations, as well as improvement in the patients' quality of life. Clinically used DBS, however, is since its inception delivered in an open-loop fashion, where the parameters of the stimulation are constant regardless of the underlying brain activity and the state of the patient. This can lead to overstimulation, inducing side-effects and shortening battery life of the impulse generator, as well as understimulation when the symptoms of the disease worsen. Closed-loop DBS, exploiting measurements on the patient's brain activity to adapt the stimulation in real-time, is a promising way to overcome these limitations. In this thesis, we rely on an existing firing-rate model of the activity of the subthalamic nucleus (STN) - external globus pallidus (GPe) loop to propose an adaptive proportional DBS.We first analyze the model under proportional feedback and show that high-gain proportional stimulation makes the system globally exponentially stable (GES). To that aim, we propose a relaxed Lyapunov-Krasovskii condition for GES, valid for globally Lipschitz systems. We then extend the sigma modification approach, originally proposed by Ioannou and Kokotovic, to time-delay systems by providing explicit conditions under which this adaptive control stabilizes the system. We show that this controller then induces a practical stability property, in which the L_1 norm of the state over a sufficiently long time window converges to a neighborhood of the equilibrium up to a steady-state error that can be made arbitrarily small by tuning a control parameter. When applied to the STN-GPe firing-rate model, this leads to a proportional control law, whose gain is automatically adjusted based on the measured activity of the STN, to successfully disrupt pathological brain oscillations. In an attempt to assess the robustness of this adaptive control strategy to exogenous inputs or unmodeled dynamics, we also disprove an existing result on partial stability of nonlinear systems.Finally, we illustrate with numerical simulations on a spatiotemporal extension of this model that the proposed control law is capable of selectively quenching the pathological oscillations, based on their frequency band, regardles of whether the oscillations originate within the STN-GPe loop, or in the cortical neurons projecting to the STN.
Les oscillations beta (10-30 Hz) observées dans les ganglions de la base sont un bio-marqueur connu de la maladie de Parkinson. Leur intensité est corrélée à une augmentation des symptômes d'akinésie et de bradykinésie. La stimulation cérébrale profonde (SCP) conduit à une réduction de ces oscillations cérébrales ainsi qu'à une amélioration de la qualité vie du patient. La SCP actuellement utilisée en clinique est toutefois de nature boucle ouverte: les paramètres du signal de stimulation délivré sont constants, indépendamment de l'activité cérébrale ou de l'état du patient. Ceci peut conduire à une sur-stimulation, pouvant induire des effets secondaires et un raccourcissement de l'autonomie du stimulateur, ou au contraire à une sous-stimulation en cas de dégradation des symptômes. Des stratégies de SCP en boucle fermée, qui exploitent des mesures de l'activité cérébrale du patient pour adapter la stimulation en temps réel, constituent une approche prometteuse pour contrer ces limitations. Dans cette thèse, nous exploitons un modèle existant du taux de décharges neuronales de la boucle noyau sous-thalamique (STN) - globus pallidus externe (GPe) pour proposer une SCP proportionnelle adaptative.Nous analysons tout d'abord le modèle bouclé par une commande proportionnelle sur le STN et montrons qu'un gain proportionnel suffisamment élevé assure sa stabilité globale exponentielle (GES). A cette fin, nous proposons un nouveau critère, plus simple à appliquer que les conditions existantes, pour garantir la GES de systèmes globalement Lipschitz au moyen d'une fonctionnelle de Lyapunov-Krasovskii.Nous étendons ensuite l'approche par sigma modification, proposée initialement par Ioannou et Kokotovic, aux systèmes à retards et proposons des conditions explicites sous lesquelles cette commande adaptative stabilise le système. Nous montrons que cette loi de commande garantit alors une stabilité pratique, dans laquelle la norme L_1 de l'état sur une fenêtre temporelle suffisamment longue converge vers un voisinage de l'équilibre à une erreur près, dont l'amplitude peut être arbitrairement réduite par le réglage d'un paramètre de commande. Appliquée au modèle STN-GPe, cette stratégie conduit à une commande proportionnelle dont le gain s'ajuste automatiquement sur la base de mesures de l'activité du STN pour contrer les oscillations cérébrales pathologiques. L'analyse de la robustesse de cette stratégie vis-à-vis de perturbations ou de dynamiques non-modélisées nous a en outre conduit à réfuter, au travers d'un contre-exemple, un résultat existant sur la stabilité partielle des systèmes non-linéaires.Enfin nous illustrons, par des simulations sur une extension spatio-temporelle du modèle, que la stratégie de commande proposée est capable d'atténuer sélectivement les oscillations cérébrales, suivant leur gamme fréquentielle, qu'elles proviennent de la boucle STN-GPe elle-même ou d'entrées corticales du STN.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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