Homologies lagrangiennes, symplectiques et attachement d'anse - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2018

Lagrangian and symplectic homologies and handle attachment

Homologies lagrangiennes, symplectiques et attachement d'anse

Résumé

In this PhD thesis, I present a new construction of the wrapped Fukaya complex of a Lagrangian and of the Chekanov algebra of a Legendrian using techniques developed by Cieliebak, Ekholm and Oancea. These constructions behave well under cobordisms and thus are fit to study the symplectic handle attachment procedure. I prove that the wrapped Fukaya complex of the cocore is isomorphic to the Chekanov algebra of the attachment sphere and show that this isomorphism factors through Abouzaid’s Open-Closed map. I then give a strategy in order to deduce from these results two important theorems announced by Bourgeois, Ekholm and Eliashberg concerning the behaviour of symplectic homology under handle attachment and the generation of the Fukaya category. In the last chapter, I define following an idea of A’Campo a geodesic flow on the skeleton of a Brieskorn manifold and relate this flow to the Reeb flow on the link of the singularity in order to try to generalize Viterbo’s isomorphism between the symplectic homology of a cotangent bundle and the homology of a loop space.
Dans cette thèse, je présente une nouvelle construction du complexe de Fukaya enroulé d’une lagrangienne ainsi que de l’algèbre de Chekanov d’une legendrienne en utilisant des techniques développées par Cieliebak, Ekholm et Oancea. Ces constructions vérifient des propriétés de fonctorialité par rapport aux cobordismes et sont donc adaptées pour étudier un attachement d’anse symplectique. Ainsi, je démontre que le complexe de Fukaya enroulé de la coâme est isomorphe à l’algèbre de Chekanov de la sphère d’attachement d’anse et je montre que cet isomorphisme se factorise par l’application « Open-Closed » de Abouzaid. Je présente ensuite une stratégie pour déduire de ces résultats deux théorèmes importants annoncés par Bourgeois, Ekholm et Eliashberg concernant le comportement de l’homologie symplectique par attachement d’anse et la génération de la catégorie de Fukaya enroulée. Dans le dernier chapitre, je définis en suivant une idée de A’Campo un flot géodésique sur le squelette des variétés de Brieskorn-Pham et je relie ce dernier au flot de Reeb sur l’entrelacs de contact de la singularité dans l’optique de généraliser le théorème de Viterbo qui relie homologie symplectique du cotangent et homologie d’un espace de lacets.
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Identifiants

  • HAL Id : tel-02865356 , version 1

Citer

Amiel Peiffer-Smadja. Homologies lagrangiennes, symplectiques et attachement d'anse. Géométrie symplectique [math.SG]. Sorbonne Université, 2018. Français. ⟨NNT : 2018SORUS370⟩. ⟨tel-02865356⟩
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