Contributions to quadratic backward stochastic differential equations with jumps and applications
Contribution aux équations différentielles stochastiques rétrogrades quadratiques avec sauts et applications
Résumé
This thesis focuses on backward stochastic differential equation with jumps and their applications. In the first chapter, we study a backward stochastic differential equation (BSDE for short) driven jointly by a Brownian motion and an integer valued random measure that may have infinite activity with compensator being possibly time inhomogeneous. In particular, we are concerned with the case where the driver has quadratic growth and unbounded terminal condition. The existence and uniqueness of the solution are proven by combining a monotone approximation technics and a forward approach. Chapter 2 is devoted to the well-posedness of generalized doubly reflected BSDEs (GDRBSDE for short) with jumps under weaker assumptions on the data. In particular, we study the existence of a solution for a one-dimensional GDRBSDE with jumps when the terminal condition is only measurable with respect to the related filtration and when the coefficient has general stochastic quadratic growth. We also show, in a suitable framework, the connection between our class of backward stochastic differential equations and risk sensitive zero-sum game. In chapter 3, we investigate a general class of fully coupled mean field forward-backward under weak monotonicity conditions without assuming any non-degeneracy assumption on the forward equation. We derive existence and uniqueness results under two different sets of conditions based on proximation schema weither on the forward or the backward equation. Later, we give an application for storage in smart grids.
Cette thèse porte sur l'étude des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) avec sauts et leurs applications.Dans le chapitre 1, nous étudions une classe d'EDSR lorsque le bruit provient d'un mouvement Brownien et d'une mesure aléatoire de saut indépendante à activité infinie. Plus précisément, nous traitons le cas où le générateur est à croissance quadratique et la condition terminale est non bornée. L'existence et l'unicité de la solution sont prouvées en combinant à la fois la procédure d'approximation monotone et une approche progressive. Cette méthode permet de résoudre le cas où la condition terminale est non bornée.Le chapitre 2 est consacré aux EDSR avec sauts généralisées doublement réfléchies sous des hypothèses d’intégrabilités faibles. Plus précisément, on montre l'existence d'une solution pour un générateur à croissance quadratique stochastique et une condition terminale non bornée. Nous montrons également, dans un cadre approprié, la connexion entre notre classe d’équations différentielles stochastiques rétrogrades et les jeu à somme nuls.Dans le chapitre 3, nous considérons une classe générale d'EDSR progressive-rétrograde couplée avec sauts de type Mackean Vlasov sous une condition faible de monotonicité. Les résultats d'existence et d'unicité sont établis sous deux classes d'hypothèses en se basant sur des schémas de perturbations soit de l’équation différentielle stochastique progressive, soit de l’équation différentielle stochastique rétrograde. On conclut le chapitre par un problème de stockage optimal d’énergie dans un parc électrique de type champs moyen.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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