Boundary and rigidity in non-negative curvature
Bords et rigidité en courbure négative ou nulle
Résumé
Soit G un groupe. En considérant une marche aléatoire sur G, on peut définir un espace mesuré, le bord de Poisson-Furstenberg de G, muni d’une action de G. Ce bord, difficile à identifier en général, est un ingrédient dans beaucoup de preuves de théorèmes de superrigidité, dans la lignée des théorèmes de Margulis, via la construction d’applications bord, du bord de Poisson vers un bord définie de manière plus géométrique.
Dans ce mémoire, je démontre et analyse l’existence de telles applications dans diverses situations à courbure négative ou nulle (dans un sens métrique) et j’en déduis plusieurs théorèmes à la Margulis. Ainsi avec B. Duchesne et B. Pozzetti nous démontrons un résultat de rigidité pour les représentations maximales de réseaux hyperboliques complexes dans des groupes unitaires de dimension infinie. Avec U. Bader et P-E. Caprace, nous avons utilisé des techniques similaires pour démontrer la non-linéarité de certains groupes d’automorphismes d’immeubles affines.
L’étude du bord de Poisson-Furstenberg est fortement reliée à des propriétés dynamiques du groupe. Avec T. Fernos et F. Mathéus nous avons étudié des marches aléatoires sur des groupes agissant sur des complexes cubiques CAT(0) : on démontre en particulier que la marche aléatoire converge presque sûrement vers un point du bord du complexe cubique, et on en déduit des propriétés dynamiques sur le groupe. Je présente également des résultats obtenus (avec Bader et Duchesne) dans un cadre assez général sur les sous-groupes invariants aléatoires.
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