Random trees, laminations of the disk and factorizations
Arbres, laminations du disque et factorisations aléatoires
Résumé
This work is devoted to the study of asymptotic properties of large random combinatorial structures. Three particular structures are the main objects of our interest: trees, factorizations of permutations and configurations of noncrossing chords in the unit disk (or laminations).First, we are specifically interested in the number of vertices with fixed degree in Galton-Watson trees that are conditioned in different ways, for example by their number of vertices with even degree, or by their number of leaves. When the offspring distribution of the tree is critical and in the domain of attraction of a stable law, we notably prove the asymptotic normality of these quantities. We are also interested in the spread of these vertices with fixed degree in the tree, when one explores it from left to right.Then, we consider configurations of chords that do not cross in the unit disk. Such configurations notably code trees in a natural way. We define in particular a nondecreasing sequence of laminations coding a fragmentation of a given tree, that is, a way of cutting this tree at points chosen randomly. This geometric point of view then allows us to study some properties of a factorization of the cycle (1, 2,⋯, n) as a product of n-1 transpositions, chosen uniformly at random, by coding it in the disk by a random lamination and by remarking a connection between this model and a Galton-Watson tree conditioned by its total number of vertices. Finally, we present a generalization of these results to random factorizations of the same cycle, that are not necessarily as a product of transpositions anymore, but may involve cycles of larger lengths. We highlight this way a connection between conditioned Galton-Watson trees, factorizations of large permutations and the theory of fragmentations.
Cette thèse est consacrée à l'étude des propriétés asymptotiques de grands objets combinatoires aléatoires. Trois familles d'objets sont au centre des travaux présentés ici : les arbres, les factorisations de permutations et les configurations de cordes non croisées du disque (aussi appelées laminations).Dans un premier temps, nous nous intéressons spécifiquement au nombre de sommets de degré fixé dans des arbres de Galton-Watson que l'on a conditionnés de différentes façons, comme par exemple par leur nombre de sommets de degré pair ou leur nombre de feuilles. Lorsque la loi de reproduction de l'arbre est critique et dans le domaine d'attraction d'une loi stable, nous montrons notamment la normalité asymptotique de ces quantités. Nous nous intéressons également à la répartition de ces sommets de degré fixé dans l'arbre, lorsqu'on explore celui-ci de gauche à droite.Dans un second temps, nous considérons des configurations de cordes du disque unité qui ne se coupent pas, et montrons que l'on peut coder un arbre de manière naturelle par une telle configuration. Nous définissons en particulier une suite croissante de laminations codant une fragmentation d'un arbre donné, c'est-à-dire une manière de découper cet arbre en des points choisis aléatoirement. Ce point de vue géométrique nous permet ensuite d'étudier les propriétés d'une factorisation du cycle (1, 2,⋯, n) en un produit de n-1 transpositions, choisie uniformément au hasard, en la codant dans le disque par une lamination aléatoire et en remarquant un lien entre ce modèle et un arbre de Galton-Watson conditionné par son nombre total de sommets. Enfin, dans une dernière partie, nous présentons une généralisation de ces résultats à des factorisations aléatoires de ce même cycle, qui ne sont plus nécessairement en produits de transpositions mais peuvent faire intervenir des cycles de longueurs plus grandes. Nous mettons de cette façon en lumière un lien entre des arbres de Galton-Watson conditionnés, les factorisations de grandes permutations et la théorie des fragmentations.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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