Études d’oscillations non linéaires près d’une caustique - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 1999

Studies of nonlinear oscillations near a caustic

Études d’oscillations non linéaires près d’une caustique

Résumé

We underscore nonlinear phenomena when oscillations give rise to a caustic. The first part of this work considers a family of semi-linear wave equations, for which it is shown that new terms appear in the asymptotic expansion of the solution, due to the caustic crossing. This study, in $L^\infty$, emphasizes a boundary layer near the caustic, inside which the exact solution and the first profile of geometric optics have radically different behaviors. The second part of this thesis is concerned with a family of nonlinear Schrödinger equations, for which several notions of critical index appear, as for the description of the propagation outside the caustic on the one hand, and the caustic crossing on the other hand. The propagation is similar to that known by WKB method, and the caustic crossing is either the same as in the linear case, or described in terms of scattering operators. A uniform description is obtained by a generalization of the use of Lagrangian integrals.
Nous mettons en évidence des phénomènes non linéaires lorsque des oscillations donnent lieu à une caustique. La première partie de ce travail porte sur une famille d'équations des ondes semi-linéaires, pour laquelle on montre que des termes nouveaux apparaissent dans le développement asymptotique de la solution, nés de la traversée de la caustique. Cette étude, dans $L^\infty$, permet en outre de constater l'existence d'une couche limite près de la caustique, à l'intérieur de laquelle la solution exacte et le premier profil de l'optique géométrique ont des comportements radicalement différents. La seconde partie de cette thèse aborde une famille d'équations de Schrödinger non linéaires, pour laquelle apparaissent plusieurs notions d'indice critique, permettant de décrire d'une part la nature de la propagation en dehors de la caustique, et d'autre part la traversée de la caustique. La propagation est celle que l'on connait par la méthode BKW, et la traversée de la caustique est soit semblable à celle du cas linéaire, soit décrite en termes d'opérateurs de diffusion. Une description uniforme est rendue possible en généralisant l'écriture de la solution sous forme d'intégrale lagrangienne.
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  • HAL Id : tel-02933740 , version 1

Citer

Rémi Carles. Études d’oscillations non linéaires près d’une caustique. Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Université de Rennes 1, 1999. Français. ⟨NNT : 1999REN10045⟩. ⟨tel-02933740⟩
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