Asymptotic analysis of some partial differential equations in domains becoming unbounded
Analyse asymptotique de quelques problémes d'EDPs dans des domaines devenant infinis
Résumé
This thesis has for aim the study of some elliptic problems in some domains becoming unbounded in one or several directions. In the first part of the thesis, we study the problem⌠-div(A ∇uℓ) = f in Ωℓ⌡uℓ = g on ∂Ωℓ.where Ωℓ is the cylinder ω1 x ω2 with ω1and ω2two bounded domains of Rk and Rn-k respectively (with 1 ≤ k ≤ n - 1). We denote by Ω ∞ the infinite cylinder Rk x ω2 and we take f ∈ H-1loc (Ω ∞) and g ∈ H1loc (Ω ∞), so that f ∈ H-1loc (Ω ∞) and g ∈ H1loc (Ω ∞), for any ℓ > 0. This work is based on the methods developed in [23] and [19]. We show that it is possible to indifferently pass to the limit in the sequence of cylinders and then to solve the problem on the infinite cylinder, or to first solve the problem on the cylinder Ωℓ and then to pass to the limit. The limit here is to be understood in the sense of a Saint-Venant type principle, which is to say that the convergence takes place for the restrictions of uℓ to smaller domains Ωℓ (with 0 < ℓ’ < ℓ) contained in Ωℓ. After that, we give some optimality results concerning the domain in which the sequence of solutions uℓ converges to u ∞. In the second chapter, we construct some correctors that enable us to extend the convergence on the whole cylinder. The construction of these correctors is inspired from the ones made in [17] and [18]. In the third chapter of the thesis we prove that, under some decreasing conditions at in_nity for the data f, it is possible to recover the same convergence on the whole cylinder, without the adjunction of correctors. In the last part of the thesis, we study the Stokes problem∫ - µ∆uℓ + ∇pℓ = f dans Ωℓ∫ div u = 0 dans Ωℓ⌡u = 0 sur ∂Ωℓon a domain Ωℓ = Bℓ x ω, where Bℓ ⊂ Rk (1 ≤ k ≤ n-1) is the ball of radius ℓ centered at the origin. Here, an important hypothesis is that f has some radial invariant properties with respect to the first k coordinates. One of the major tools in the proof of the result of this chapter (concerning especially the case k ≥ 2) is a result of the divergence-problem type. More precisely, based on a construction inspired by [9], we prove the following result (here below Dℓ = Ωℓ +1 \ Ωℓ) :If g ∈ W1;p(Dℓ) is a radial function along X1 such that g = 0 on (Bℓ+1 \ Bℓ) x ∂ω and ∫Dℓ gdx = 0. then there exists u ∈ (W1;p 0 (Dℓ))n such that∫div u = g in Dℓ⌡ ||∇u || Lp (Dℓ) ≤ C(|| g || Lp (Dℓ) + ||∇x2g || Lp (Dℓ))the constant C being independent of ℓ for ℓ ≥ 1, (C depends on k, n, p and !). Thanks to this result, used in the case p = 2, we finally prove that in this case, we also have an exponential rate of convergence of uℓ Ωℓ2 to u ∞.
Cette thèse a pour objet l'étude de quelques problèmes elliptiques dans des domaines qui deviennent infinis dans une ou plusieurs directions. Dans la première partie de la thèse, nous étudions le problème⌠-div(A ∇uℓ) = f dans Ωℓ⌡uℓ = g sur ∂Ωℓ.où Ωℓ est le cylindre lω1 x ω2 avec 1 et ω2 deux domaines bornés de Rk et Rn-k respectivement (avec 1 ≤ k ≤ n - 1). On note Ω ∞ le cylindre infini Rk x ω2, et l'on prend f ∈ H-1loc (Ω ∞) et g ∈ H1loc (Ω ∞), de sorte que f ∈ H-1loc (Ω ∞) et g ∈ H1loc (Ω ∞), tout ℓ > 0. Ce travail se fonde sur les méthodes développées dans [23] et [19]. On démontre qu'il est possible de passer indifféremment à la limite dans la suite de cylindres puis de résoudre le problème, ou de d'abord résoudre le problème sur le cylindre Ωℓ puis de passer à la limite. Ici, la limite doit être comprise dans le sens d'un principe de Saint-Venant, c'est-à-dire que la convergence a lieu pour des restrictions de uℓ à des cylindres Ωℓ plus petits (avec 0 < ℓ’ < ℓ). Dans la suite de cetravail sont présentés des résultats sur l'optimalité du domaine dans lequel la suite de solutions uℓ converge vers u ∞.Dans le deuxième chapitre, nous montrons comment il est possible d'étendre le domaine de convergence à l'ensemble du cylindre Ωℓ par la construction de correcteurs. La construction de ces correcteurs se fonde sur celles présentées dans [17] et [18]. Dans la troisième partie de la thèse, nous prouvons que sous des hypothèses de décroissance à l'infini de la donnée f, il est possible de retrouver la même convergence sur l'entièreté du cylindre, sans passer par le biais de correcteurs.La dernière partie de cette thèse est consacrée à l'étude du problème de Stokes∫ - µ∆uℓ + ∇pℓ = f dans Ωℓ∫ div u = 0 dans Ωℓ⌡u = 0 sur ∂Ωℓsur le domaine Ωℓ = Bℓ x ω, où Bℓ ⊂ Rk (1 ≤ k ≤ n-1) est la boule de rayon ℓ centrée à l'origine. Ici, une hypothèse primordiale est celle qui concerne les propriétés d'invariance radiale de f par rapport aux k premières coordonnées. L'un des outils principaux dans la preuve du résultat de cette partie (en particulier dans le cas où k ≥ 2) est un résultat sur un problème de divergence. Plus précisément, en se fondant sur une construction inspirée par [9], nous montrons le résultat suivant (ci-dessous, Dℓ = Ωℓ +1 \ Ωℓ) : Soit g ∈ W1;p(Dℓ) une fonction radiale par rapport aux k premières coordonnées, et qui vérifie g = 0 sur (Bℓ+1 \ Bℓ) x ∂ω et ∫Dℓ gdx = 0. Alors, il existe u ∈ (W1;p 0 (Dℓ))n telle que∫div u = g in Dℓ⌡ ||∇u || Lp (Dℓ) ≤ C(|| g || Lp (Dℓ) + ||∇x2g || Lp (Dℓ))avec C une constante qui, pourvu que `ℓ ≥ 1, dépend seulement de k, n, p et ω. A l'aide de ce résultat, appliqué au cas p = 2, nous démontrons finalement que dans ce cas aussi, il y a convergence exponentielle de uℓ Ωℓ2 vers u ∞.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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