Contractible 3-manifolds and Positive scalar curvature
Les 3-variétés contractiles et le courbure scalaire positive
Résumé
The purposes of this thesis is to understand spaces which carry metrics of positive scalar curvature. There are several topological obstructions for a smooth manifold to have a complete metric of positive scalar curvature. Our goal is to find all obstructions for contractible 3-manifolds and closed 4-manifolds. In dimension 3, we are concerned with the question whether a complete contractible 3-manifold of positive scalar curvature is homeomorphic to 3-dimensional Euclidean space. The topological structure of contractible 3-manifolds could be complicated. For example, the Whitehead manifold is a contractible 3-manifold which is not homeomorphic to 3-dimensional Euclidean space.
We first prove that the Whitehead manifold does not carry a complete metric of positive scalar curvature. This result can be generalised to the so-called genus one case. Precisely, we show that no contractible genus one 3-manifold admits a complete metric of positive scalar curvature.
We then study the fundamental group at infinity and its relationship with the existence of positive scalar curvature metric. The fundamental group at infinity of a manifold is the inverse limit of the fundamental groups of complements of compact subsets. In this thesis, we give a partial answer to the above question. We prove that a complete contractible 3-manifold with positive scalar curvature and trivial fundamental group at infinity is homeomorphic to 3-dimensional Euclidean space.
Finally, we study closed aspherical 4-manifolds. Together with minimal surface theory and the geometrisation conjecture, we show that no closed aspherical 4-manifold with non-trivial first Betti number carries a metric of positive scalar curvature.
Un des objectifs de ce mémoire est de comprendre les espaces munis de métriques complète de courbure scalaire positive. Il y a plusieurs obstructions topologiques à l'existence d'une métrique complète de courbure scalaire positive. Notre but est de trouver toutes les obstructions pour les variétés contractiles de dimension 3 et les variétés fermées de dimension 4. En dimension 3, nous considérons la question de savoir si une variété contractile complète de courbure scalaire positive est homéomorphe à {R}^3. La structure topologique des variétés contractiles de dimension 3 est assez compliquée. Par exemple, Whitehead a construit une variété dimension 3 contractile qui n'est pas homéomorphe à {R}^3.
Nous prouvons, tout d'abord, que la variété de Whitehead n'a pas de métrique complète de courbure scalaire positive.
Ce résultat peut être généralisé au cas dit de genre un. Précisément, nous montrons qu'aucune variété contractile de dimension 3 et de genre un ne possède de métrique complète de courbure scalaire positive.
Nous étudions ensuite le groupe fondamental à l'infini et son lien avec l'existence d'une métrique de courbure scalaire positive. Le groupe fondamental à l'infini d'une variété est la limite projective des groupes fondamentaux des complémentaires des sous-ensembles compacts. Dans ce mémoire, nous apportons une réponse partielle à la question évoquée plus haut. Nous prouvons qu'une variété complète de dimension 3 de courbure scalaire positive dont le groupe fondamental à l'infini est trivial est homéomorphe à {R}^3.
Enfin, nous étudions les variétés fermées asphériques de dimension 4. En utilisant la théorie des surfaces minimales et la conjecture de géométrisation, nous montrons qu'aucune variété fermée asphérique de dimension 4 avec un premier nombre de Betti non trivial ne possède de métrique à courbure scalaire positive.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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