Positivity of direct images and projective varieties with nonnegative curvature
Positivité des images directes et variétés projective à courbure positive
Résumé
The birational classification of algebraic varieties is a central problem in algebraic geometry. Recently great progress has been made towards the establishment of the MMP and the Abundance and by these works, smooth (or mildly singular) projective varieties can be birationally divided into two categories: 1. varieties with pseudoeffective canonical divisor, which are shown to reach a minimal model under the MMP; 2. uniruled varieties, which are covered by rational curves. In this thesis refined studies of these two categories of varieties are carried out respectively, by following the philosophy of studying the canonical fibrations associated to them.For any variety X in the first category, the most important canonical fibration associated to X is the Iitaka-Kodaira fibration whose base variety is of dimension equal to the Kodaira dimension of X. This thesis tacles an important corollary of the Abundance conjecture, namely, the Iitaka conjecture C_{n,m}, which states the supadditivity of the Kodaira dimension with respect to algebraic fibre spaces. In this thesis the Kähler version of C_{n,m} is proved under the assumption that the base variety of the fibre space is a complex torus by further developping the positivity theorem of direct images and the pluricanonical version of the Green-Lazarsfeld-Simpson type theorem on cohomology jumping loci. This generalizes the main result of Cao-Păun (2017).As for varieties in the second category, one studies the Albanese map and the MRC fibration, instead of the Iitaka-Kodaira fibration. A philosophy in this investigation is that when the tangent bundle or the anticanonical divisor admits certain positivity, the aforementioned two fibrations of the variety should have a rigid structure. In this thesis I study in this thesis the structure of (mildly singular) projective varieties with nef anticanonical divisor. By again applying the positivity of direct images and by applying results from the foliation theory, I manage to prove that the Albanese map of such variety is a locally constant fibration and that if its smooth locus is simply connected then the MRC fibration induces a splitting into a product. These generalize the corresponding results for smooth projective varieties in Cao (2019) and Cao-Höring (2019)
La classification birationnelle des variétés algébrique est un problématique central en géométrie algébrique. Récemment grand progrès a été fait vers l'établissement du MMP et l'abondance, et par ces travaux, les variété projectives lisse (ou légèrement singulières) sont birationnellement divisées en deux catégories: 1. les variétés à diviseur canonique pseudo-effectif, qui sont montré d'aboutir à un modèle minimal par le MMP; 2. les variétés uniréglées, qui sont recouvertes par des courbes rationnelles. Dans cette thèse, des étude raffinées de ces deux catégories de variétés est sont effectuées respectivement, by en suivant la philosophie d'étudier les fibrations canoniques y associées.Pour une variété X dans la première catégorie, la fibration la plus importante y associée est la fibration d'Iitaka-Kodaira, dont la base est de dimension égale à la dimension de Kodaira de X. Cette thèse traite un corollaire important de l'abondance, à savoir, la conjecture C_{n,m} d'Iitaka, qui énonce la sup-additivité de la dimension de Kodaira dimension par rapport aux fibration algébrique. Dans cette thèse la version kählérienne de C_{n,m} est montré sous l'hypothèse que la base est un tore complexe en développant davantage la positivité des images directes et la version pluricanonique du théorème à la Green-Lazarsfeld-Simpson sur les lieux de sauts de cohomologie. Ceci généralise le résultat principal de Cao-Păun (2017). Pour les variétés dans la seconde catégorie, l'on étude l'application d'Albanese et la fibration MRC fibration, au lieu de la fibration d'Iitaka-Kodaira. La philosophie dans cette enquête est que si le fibré tangent ou anticanonique admet une certaine positivité, les deux fibrations susmentionnées doivent avoir une structure rigide. Dans cette thèse j'étudie la structure des variétés projective (légèrement singulières) à diviseur anticanonique nef. En appliquant la positivité des images directe et des résultats de la théorie des feuilletages, j'arrive à démontrer que l'application d'Albanese map est une fibration localement constante et que si le lieu lisse est simplement connexe la fibration MRC induit une décomposition en un produit. Ceci généralise les résultats correspondants pour les variétés lisses dans Cao (2019) and Cao-Höring (2019).
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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