Simultaneous Rational Function Reconstruction and applications to Algebraic Coding Theory
Reconstruction Rationnelle Simultanée et applications à la Théorie des Codes Correcteurs d'Erreurs
Résumé
This dissertation deals with a Computer Algebra problem which has significant consequences in Algebraic Coding Theory and Error Correcting Codes: the simultaneous rational function reconstruction. Indeed, an accurate analysis of this problem leads to interesting results in both these scientific domains.
More precisely, the simultaneous rational function reconstruction is the problem of reconstructing a vector of rational functions with the same denominator given its evaluations (or more generally given its remainders modulo different polynomials). The peculiarity of this problem consists in the fact that the common denominator constraint reduces the number of evaluation points needed to guarantee the existence of a solution, possibly losing the uniqueness.
One of the main contribution of this work consists in the proof that uniqueness is guaranteed for almost all instances of this problem.
This result was obtained by elaborating some other contributions and techniques derived by the applications of SRFR, from the polynomial linear system solving to the decoding of Interleaved Reed-Solomon codes.
In this work, we will also study and present another application of the SRFR problem, concerning the problem of constructing fault-tolerant algorithms: algorithms resilients to computational errors. These algorithms are constructed by introducing redundancy and using error correcting codes tools to detect and possibly correct errors which occur during computations. In this application context, we improve an existing fault-tolerant technique for polynomial linear system solving by interpolation-evaluation, by focusing on the SRFR problem related to it.
Cette thèse étudie un problème de calcul formel qui a des applications et conséquences importantes sur la théorie des codes correcteurs algébriques : la reconstruction rationnelle simultanée (RRS). En effet, une analyse rigoureuse de ce problème amène à des résultats intéressants dans ce deux domaines scientifiques.
Plus précisément, la reconstruction simultanée de fractions rationnelles est le problème de la reconstruction d’un vecteur de fractions rationnelles ayant le même dénominateur étant donné ses évaluations (ou plus généralement étant donné ses restes modulo de polynômes différents). La particularité de ce problème consiste dans le fait que la contrainte du dénominateur commun réduit le nombre de points d’évaluation qui assurent l’existence d’une solution, au prix d’une éventuelle perte d’unicité. Une des principales contributions de ce travail consiste à prouver que l’unicité est garantie pour quasiment tous les instances de ce problème.
Ce résultat a été obtenu par l’élaboration des résultats et techniques précédents dérivées des applications du problème RRS, depuis la résolution de systèmes linéaires polynomiaux jusqu’au décodage de codes Reed-Solomon entrelacés.
Dans ce travail, nous avons aussi étudié et présenté une autre application du problème RRS, concernant le problème de la construction d’algorithmes tolérants aux fautes : des algorithmes résistants aux erreurs de calcul. Ces algorithmes sont construits en introduisant une redondance et en utilisant des outils de codes correcteurs d’erreurs pour détecter et éventuellement corriger les erreurs qui se produisent pendant les calculs. Dans ce contexte d’application, nous améliorons une technique existante de tolérance aux fautes pour la résolution de systèmes linéaires polynomiaux par interpolation-évaluation, avec une attention particulière au problème RRS correspondant.
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