Asymptotic representation theory and applications to Yang-Mills theory
Théorie asymptotique des représentations et applications à la théorie de Yang-Mills
Résumé
This thesis is devoted to the study of Yang–Mills measure on a compact surface, with structure group the unitary group U(N) or special unitary group SU(N). This study is more precisely about this measure’s asymptotic behaviour in the large N limit, using asymptotic representations of the unitary group.
The first chapter, as an introduction to the subject, explains in details the construction of Yang–Mills measure after having developed the several theories it is based on: gauge theory, noncommutative probability and group representations.
We show in Chapter 2 that the partition function of this Yang–Mills measure converges, for orientable surfaces of genus greater or equal to 1 and non-orientable surfaces of genus greater or equal to 2, to a finite limit that only depends on the genus, the orientability and the area of the underlying surface.
In Chapter 3 we partially construct the so-called master field on orientable compact surfaces of genus greater or equal to 1, which is the limit – in a non-commutative probabilistic sense – to the random field on the underlying surface whose distribution is given by Yang–Mills measure.
Cette thèse est consacrée `à l’étude de la mesure de Yang–Mills euclidienne sur une surface compacte, avec pour groupe de structure le groupe unitaire U(N) ou spécial unitaire SU(N). Cette étude porte plus précisément sur le comportement asymptotique de cette mesure lorsque N tend vers l’infini, à l’aide des représentations asymptotiques du groupe unitaire.
Le premier chapitre, qui fait office d’introduction au sujet, explique en détails la construction de cette mesure en développant au préalable les diverses théories sur lesquelles elles s’appuie : la théorie de jauge, les probabilités non-commutatives et les représentations de groupes.
Nous montrons dans le chapitre 2 que la fonction de partition de cette mesure de Yang–Mills converge, pour les surfaces compactes orientables de genre supérieur ou égal à 1 ou non orientables de genre supérieur ou égal à 2, vers une limite finie qui ne dépend que du genre, de l’orientabilité et de l’aire de la surface sous-jacente.
Dans le chapitre 3, nous construisons partiellement l’objet appelé champ maître sur les surfaces compactes orientables de genre 1 et plus, qui constitue la limite – au sens des probabilités non-commutatives – du champ aléatoire sur la surface sous-jacente dont la loi est donnée par la mesure de Yang–Mills.
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