High-gain observer design for systems of PDEs
Synthèse des observateurs grand gain pour des systèmes d' EDP
Résumé
This thesis introduces some non-trivial extensions of the classical high-gain observer design for finite-dimensional nonlinear systems to some classes of infinite-dimensional systems, written as triangular systems of coupled partial differential equations (PDEs), where an observation of one coordinate of the state along the spatial domain is considered as system's output. To deal with this problem, depending on a property of the differential operator associated to each system of PDEs, direct and indirect observer design is proposed. First, via direct observer design, solvability of this high-gain observer design problem is proven for a class of systems of quasilinear hyperbolic partial integro-differential equations of balance laws with a single characteristic velocity. Then, for the case of distinct velocities, indirect observer design is proposed for a class of 2x2 quasilinear and a class of nxn linear inhomogeneous hyperbolic systems. This design is also applied to semilinear reaction-diffusion systems of 2 and 3 equations. The indirect design introduces infinite-dimensional state transformations of the considered systems to target systems of PDEs and this leads to the injection of spatial derivatives of the output in the observer dynamics. The convergence of the proposed observers in appropriate regularity space norms is based upon various introduced Lyapunov tools. The thesis also addresses the application of the proposed theoretical results to epidemic models, chemical reactors, and diffusional Lotka-Volterra systems. Finally, the proposed observer designs are applied to the output feedback stabilization of a cascade system of linear Korteweg-de Vries equations, where two different boundary control problems are considered.
Cette thèse introduit quelques extensions non-triviales de la synthèse classique des observateurs grand gain pour des systèmes nonlinéaires de dimension finie à quelques classes de systèmes de dimension infinie, ayant la forme de systèmes triangulaires décrites par des équations différentielles aux dérivées partielles (EDP) couplées, où une seule coordonnée de l' état dans tout le domaine spatial est considérée comme la sortie du système. Pour aborder ce problème, des synthèses directes et indirectes d' observateurs sont proposées, en fonction d' une propriété de l' opérateur différentiel, associé à chaque système d' EDP. D' abord, en suivant la synthèse directe, la solvabilité de ce problème de synthèse des observateurs grand gain est prouvée pour une classe de systèmes d' équations integrodifféréntielles hyperboliques quasilinéaires avec termes sources et une seule vitesse de propagation. Ensuite, pour le cas de vitesses distinctes, une synthèse indirecte est proposée pour une classe de systèmes quasilinéaires hyperboliques 2x2 et une classe de systèmes linéaires inhomogènes hyperboliques nxn. Ce type de synthèse est aussi appliqué à une classe de systèmes semilinéaires de reaction-diffusion de 2 ou de 3 équations. La synthèse indirecte introduit des transformations d' état de dimension infinie des systèmes considérés vers des systèmes cibles d' EDP, qui permettent l' injection de dérivées spatiales de la sortie dans la dynamique de l' observateur. La convergence des observateurs proposés dans des normes appropriées est basée sur des outils de type Lyapunov. La thèse contient aussi des applications des résultats théoriques obtenus à des exemples de modèles épidémiques, de réacteurs chimiques et de systèmes Lotka-Volterra avec diffusion. Enfin, les synthèses d' observateurs proposées sont appliquées à la stabilisation par retour de sortie d'un système d'équations linéaires de Korteweg-de Vries en cascade, où deux problèmes de commande aux bords différents sont considérés.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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