Profinite graph and group
Théorie de Bass-Serre profinie
Résumé
Bass-Serre theory was initiated in 1970 by Jean-Pierre Serre, in [Ser77]. The theory's main motivation was to study the structure of discrete and torsion-free subgroups of SL2(Qp), more precisely Ihara's theorem stating that all torsion-free subgroups of SL2(Qp) are free. Inspired by covering space theory in algebraic topology, J-P Serre explains that showing the freedom of a group by making it act freely on a tree is more natural. So, he deduces a simple and elegant proof of this theorem and allows to generalize several theorems of combinatorial group theory: Nielsen-Schreier, Kurosh and of Nagao theorems and so on. This theory shows more generally that a group acts on a tree without inversion if and only it is isomorphic to a non-trivial amalgam or to an HNN extension.In 2011 B. Deschamps and I. Suarez introduced in [DSA11] a combinatorial theory for profinite groups. They proved an analogue for profinite groups of Serre's theorem on freedom of a group : a profinite group has a dense free subgroup if and only this group acts profreely on a protree. The notion of profree action can be summarized to making the groups of the inverse system of finite groups associated with a profine group act freely on each floor of an inverse system of graphs with certain arithmetic conditions.The purpose of this thesis is to give a contribution of Deschamps-Suarez theory of prographs. Tools and techniques developed by Deschamps and Suarez, placed in a general context, allow to show an analog of the Deschamps-Suarez theorem for profinite groups with a dense amalgamated subgroup and a generalization of this result. Finally, these results are illustrated on well-known Galois situations.
La théorie de Bass-Serre a été développée en 1970 par Jean-Pierre Serre, dans [Ser77]. Elle a pour motivation principale d'étudier la structure des sous-groupes discrets et sans torsion de SL2(Qp), plus précisément le théorème d'Ihara suivant lequel ces sous-groupes sont libres. S'inspirant de la topologie notamment de la théorie des revêtements, il devient alors plus naturel, explique J-P Serre de montrer la liberté d'un groupe en le faisant agir librement sur un arbre. Il en déduit ainsi une preuve simple et élégante de ce théorème jugé mystérieux et permet de généraliser plusieurs résultats de théorie combinatoire des groupes : les théorèmes de Nielsen-Schreier, de Kurosh et de Nagao entre autres. Cette théorie montre plus généralement qu'un groupe agit sur un arbre sans inversion si et seulement il est isomorphe à un amalgame non trivial ou à une extension HNN.En 2011 B. Deschamps et I. Suarez ont introduit dans [DSA11] une théorie combinatoire pour les groupes profinis et ont démontré un analogue pour les groupes profinis du théorème de Serre sur liberté d'un groupe : un groupe profini possède un sous-groupe libre dense si et seulement il agit prolibrement sur un poarbre. La notion d'action prolibre se résume moralement à faire agir librement les groupes du système projectif de groupes finis associés à un groupe profini sur chaque étage d’un système projectif de graphes avec certaines conditions arithmétiques.L'objet de cette thèse est de donner une contribution à cette théorie des prographes. Les outils et techniques développés par Deschamps et Suarez étant placé dans un cadre assez général nous permettent alors de montrer un analogue du théorème de DS pour les groupes profinis possédant un sous-groupe amalgamé dense ainsi qu'une généralisation de ce résultat. Enfin nous illustrons ces résultats sur des situations galoisiennes bien connues.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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