Some contributions to geometric variational problems involving nonlocal energies - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2019

Some contributions to geometric variational problems involving nonlocal energies

Quelques contributions à des problèmes variationnels géométriques impliquant des énergies non locales

Résumé

This thesis is dedicated to the study of two separate geometric variational problems involving nonlocal energies: firstly, the geometry and singularities of fractional harmonic maps,and secondly, an iso perimetric problem with a repulsive integrable potential inspired by Gamow’s liquid drop model for the atomic nucleus. On the first topic, we improve already-known results for minimizing 1/2-harmonic maps when the target manifold is a sphere by reducing the upperbound on the Haudorff dimension of the singular set, i.e., the set of points of discontinuity. Wealso characterize so-called minimizing 1/2-harmonic tangent maps from the plane into the unit circle S1, shedding light on the behavior of minimizing 1/2-harmonic maps from R2into S1 near singularities. Finally, when s ∈ (0, 1), we prove partial regularity results for s-harmonic maps into spheres in the stationary and minimizing case, obtaining sharp estimates on the Hausdorffd imension of the set of singularities, depending on the value of s. As for the second topic of the thesis, we study a minimization problem on sets of finite perimeter under a volume constraint, where the functional is the sum of a cohesive perimeter term and a repulsive term given by a general integrable symmetric kernel on Rn. We show that under reasonable assumptions on the behavior near the origin and on some of the moments of this kernel – which include physically relevant Bessel potentials – the problem admits large mass (or volume) minimizers. In addition,after normalization, those minimizers converge to the unit ball as the mass goes to infinity. By studying the stability of the ball, we show that without these assumptions, symmetry breaking can occur, that is, there are cases when the problem admits minimizers which cannot be the ball
Cette thèse est dédiée à l’étude de deux problèmes variationnels géométriques impliquant des énergies non-locales : d’une part, la géométrie et les singularités des applications harmoniques fractionnaires, et d’autre part, un problème isopérimétrique avec un potentiel intégrable inspiré du modèle de goutte liquide pour le noyau atomique imaginé par Gamow. Concernant le premier sujet, nous améliorons des résultats de régularité partielle connus pour les applications 1/2-harmoniques minimisantes dans le cas où la variété d’arrivée est une sphère, en obtenant une estimation plus précise de la dimension de Hausdorff de l’ensemble singulier, c’est-à-dire l’ensemble des points de discontinuité. Nous caractérisons également les applications tangentes 1/2-harmoniquesminimisantes de R2 dans le cercle unité S1, ce qui éclaire le comportement des applications 1/2-harmoniques minimisantes de R2 dans S1 près de leurs singularités. Pour s ∈ ]0, 1[, nous prouvons enfin des résultats de régularité partielle pour les applications s-harmoniques stationnaires ou minimisantes, et obtenons des estimées fines sur la dimension de Hausdorff de l’ensemble des singularités, en fonction de s. Concernant le deuxième sujet de la thèse, nous étudions un problème de minimisation sur les ensembles de périmètre fini sous contrainte de volume, dans lequel la fonctionnelle est constituée de la somme d’un terme de cohésion (le périmètre) et d’un terme répulsif donné par un noyau symétrique et intégrable sur Rn. Nous montrons que sous des hypothèses raisonnables sur le comportement près de l’origine et sur certains des moments de ce noyau – qui incluent les potentiels de Bessel – le problème admet des minimiseurs de grande masse (ou volume). De plus, après renormalisation, ces minimiseurs convergent vers la boule unité lorsque la masse tend vers l’infini. En étudiant la stabilité de la boule, nous montrons que sans ces hypothèses, il peut y avoir rupture de symétrie, c’est-à-dire qu’il y a des cas pour lesquels le problème admet desminimiseurs qui ne sont pas la boule
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Origine Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-03103920 , version 1 (08-01-2021)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03103920 , version 1

Citer

Marc Pegon. Some contributions to geometric variational problems involving nonlocal energies. Algebraic Geometry [math.AG]. Université Paris Cité, 2019. English. ⟨NNT : 2019UNIP7130⟩. ⟨tel-03103920⟩
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