Greedy quantization: new approach and applications to reflected backward SDE
Quantification gloutonne: nouvelle approche et applications aux E.D.S. rétrogrades réfléchies
Résumé
This thesis contains two parts in which we treat greedy vector quantization with some financial
applications.
In the first part, we focus on greedy vector quantization. We start by presenting new theoretical
and numerical approaches of greedy quantization. We establish new rate optimality
results for a larger class of distributions, and carry out an extensive numerical study bringing
many improvements in the greedy quantization-based numerical integration field. Among these
studies, we present interesting numerical properties of greedy quantization sequences allowing
them to become an advantageous component compared to sequences used in other numerical
integration methods, like the low discrepancy sequences in the quasi-Monte Carlo method for example.
Furthermore, we show that, when an Lr-optimal greedy quantization sequence is dilated
or contracted in an appropriate way, it remains Ls-rate optimal. This is sometimes conditioned
by a certain moment assumption on the underlying probability distribution.
The second part of this manuscript is devoted to the approximation of a reflected Backward
Stochastic Differential Equation by vector quantization. First, we establish upper bounds for the
Lp-error, p 2 (1, 2+d), induced by recursive quantization of a general Markov chain one the one
hand, and by a kind of “hybrid” recursive quantization, a method introduced in this thesis, on the
other hand. Then, we establish Lp-error bounds, p 2 (1, 2+d), for the quantization-based space
discretization scheme corresponding to the reflected Backward Stochastic Differential Equation.
This is used for pricing financial options, mainly American options, and illustrated in several
examples where we compare the behavior of recursive quantization versus greedy quantization in
terms of precision and time cost. We use this discretization technique for the pricing of Barrier
options as well.
Cette thèse comporte deux parties dans lesquelles nous traitons la quantification vectorielle
gloutonne avec des applications financières.
Dans la première partie, nous nous concentrons sur la quantification vectorielle gloutonne.
Nous commençons par présenter de nouvelles approches théorique et numérique de la quantification
gloutonne. Nous établissons de nouveaux résultats d’optimalité du taux de convergence
pour une classe plus large de distributions, et nous réalisons une étude numérique approfondie
apportant de nombreuses améliorations dans le domaine de l’intégration numérique basé sur
la quantification gloutonne. Parmi ces études, nous présentons des propriétés numériques intéressantes
des suites de quantification gloutonne leur permettant de constituer un adversaire
avantageux vis-à-vis les suites utilisées dans d’autres méthodes d’intégration numérique, comme
les suites à discrépance faible dans la méthode quasi-Monte Carlo par exemple. De plus, nous
montrons que, lorsqu’une suite de quantification gloutonne Lr-optimale est dilatée ou contractée
de manière appropriée, elle reste à taux de convergence Ls-optimal. Ceci est parfois conditionné
par une hypothèse de moment sur la loi de probabilité sous-jacente.
La deuxième partie de ce manuscrit est consacrée à l’approximation d’une équation différentielle
stochastique rétrograde réfléchie par quantification vectorielle. Nous établissons d’abord
des bornes supérieures de l’erreur dans Lp, p 2 (1, 2+d), induite par la quantification récursive
d’une chaîne de Markov générale d’une part, et par une sorte de quantification récursive “hybride”,
méthode introduite dans cette thèse, d’autre part. Ensuite, nous établissons des bornes
d’erreur dans Lp, p 2 (1, 2+d), pour le schéma de discrétisation spatiale basé sur la quantification
et correspondant à l’équation différentielle stochastique rétrograde réfléchie. Cette méthode
est utilisée pour évaluer les options financières, principalement les options américaines, et illustrée
dans plusieurs exemples où nous comparons le comportement de la quantification récursive
à celui de la quantification gloutonne en termes de précision et de coût en temps. Nous utilisons
également cette technique de discrétisation pour l’évaluation du prix des options barrière.
Mots clés
Domaines
Probabilités [math.PR]| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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