Intersection Types and Resource Calculi in the Denotational Semantics of Lambda-Calculus
Types intersection et calculs avec ressources dans la sémantique dénotationnelle du lambda-calcul
Résumé
This thesis studies the notion of approximation in lambda-calculus from different
perspectives.
Ehrhard and Regnier introduced the Taylor expansion of lambda-terms: one
can see a lambda-term as an infinite formal sum of its linear approximants. Another notion of approximation in lambda-calculus is given by intersection types,
introduced by Coppo and Dezani in the 80s.
In a first part, we extend the standard definition of Taylor expansion to a
non-deterministic lambda-calculus. We introduce a rigid resource calculus and we
establish a combinatorial relation between rigid resource terms and the elements of
the Taylor expansion. We prove a commutation theorem between Taylor expansion
and Böhm trees in this non-deterministic context.
In a second part of the thesis, the bicategorical framework of distributors is
introduced. We present a collection of doctrines, the resource monads, and we
lift them to the bicategory of distributors, using a method introduced by Fiore,
Gambino, Hyland and Winskel. We consider the Kleisli bicategories of these
pseudomonads and we give a sufficient condition that makes these bicategories
cartesian closed, thus models of simply typed lambda-calculus.
In a third and last part, we introduce intersection type distributors and, inspired
by the work of Tsukada, Asada and Ong, the rigid expansion of lambda-terms.
These two notions of approximation are a syntactic presentation of the bicategorical semantics induced by the Kleisli constructions studied in the second part.
Intersection type distributors determine intersection type systems with subtyping.
This model gives a proof-relevant denotational semantics, in the sense that the
semantics of a term associates to it the set of its typing derivations in appropriate
systems. Subtyping is induced from the particular structure of a category of types.
Our construction is parametric on resource monads and produces four intersection
type systems. We show that intersection type distributors are naturally isomorphic
to the rigid expansion. We study these structures under reduction.
Cette thèse étudie la notion d’approximation dans le lambda-calcul selon différentes perspectives.
Ehrhard et Regnier ont introduit le développement de Taylor des lambda-termes :
on peut voir un lambda-terme comme une série infinie des ses approximations
linéaires. Une autre notion d’approximation dans le lambda-calcul est donné par
les types intersections, introduits par Coppo et Dezani dans les années 80.
Dans une première partie, nous étendons la définition standard du développement de Taylor à un lambda-calcul non-déterministe. On introduit un calcul avec
ressources rigide et on établit une relation combinatoire entre les termes de ce calcul
et les éléments du développement. On démontre un théorème de commutation entre
développement de Taylor et arbres de Böhm dans ce contexte non-déterministe.
Dans une deuxième partie de la thèse, on introduit le cadre bicatégorique des
distributeurs. On présente une collection de 2-monades, les monades de ressources,
et on les transpose dans la bicatégorie des distributeurs, en utilisant une méthode
introduite par Fiore, Gambino, Hyland et Winskel. On considère les bicatégories
de Kleisli pour ces pseudomonades et on donne une condition suffisante pour
qu’une telle bicatégorie soit cartésienne fermée, donc un modèle du lambda-calcul
simplement typé.
Dans une troisième et dernière partie, on introduit les distributeurs de types
intersections et, inspiré par le travail de Tsukada, Asada et Ong, le développement
rigide des lambda-termes. Ces deux notions d’approximation sont une présentation
syntaxique de la sémantique bicatégorique induite par les bicatégories de Kleisli
étudiées dans la deuxième partie. La notion de distributeur de types intersections
nous permet de considérer des systèmes de types intersections avec sous-typage. Ces
modèles donnent une sémantique dénotationnelle sensible aux preuves, au sens où
la sémantique d’un terme lui associe l’ensemble des ses dérivations de typage dans
ces systèmes. Le sous-typage est induit par la structure particulière d’une catégorie
de types. Notre construction est paramétrique sur les monades de ressources et
produit quatre systèmes de types intersections. On montre que les distributeurs
de types intersections sont naturellement isomorphes au développement rigide. On
étudie ces structures sous réduction.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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