On the Vlasov-Maxwell System : régularity and non-relativistic limit
Sur le système de Vlasov-Maxwell : régularité et limite non relativiste
Résumé
In this dissertation, we study the Vlasov-Maxwell system of partial differential equations, describing the evolution of the distribution function of charged particles in a plasma. More precisely, we study the regularity of solutions to this system, and the question of the non-relativstic limit.In the first part, we study a Toy-model, combining the Vlasov equation with a system of transport equations. We use the methods developed to obtain and imrpove the Glassey-Strauss criterion, which gives a sufficient condition under which strong solutions do not develop singularities. The loss of regularity occures when the speed of the particles is close to the characteristic speed of the joined hyperbolic system. The same phenomenon occures for the solutions of the Toy-model, but its structure is easier to handle.In the second part, we focus on the question of the non-relativistic limit. After a rescaling of the equations, the speed of light can be considered as a big parameter. When it tends to infinity, it is called the non-relativistic limit. At first order, the non-relativistic limit of the Vlasov-Maxwell system is the Vlasov-Poisson system. First, an iterative method giving arbitrary high non-relativistic approximations is established. These systems combine the Vlasov-equation with elliptic systems of equations, and are well-posed in some weigthed Sobolev spaces. We also prove a result on the non-relativistic limit to the Vlasov-Poisson system under the weaker assumption of boundedness of the macroscopic density. We study a functional quantifying the Wasserstein distance between weak solutions of both systems.
Cette thèse est consacrée à l'étude du système d'équations aux dérivées partielles de Vlasov-Maxwell qui décrit l'évolution au cours du temps de la fonction de distribution de particules chargées dans un plasma. Nos travaux portent plus particulièrement sur la régularité des solutions de ce système et le problème de la limite non-relativiste.Dans un premier temps, on étudie un modèle jouet combinant une équation de Vlasov et un système d'équations de transport. On utilise les méthodes utilisées pour obtenir et améliorer le critère de Glassey-Strauss qui donne une condition suffisante sous laquelle une solution forte du système de Vlasov-Maxwell ne développe pas de singularités. La perte de régularité se manifeste lorsque la vitesse des particules est proche de la vitesse de résonnance du système hyperbolique adjoint. Le même phénomène se produit pour les solutions de notre système jouet, mais il possède une structure moins complexe.Dans un deuxième temps, on aborde la question de la limite non relativiste. Après adimensionnement, la vitesse de la lumière peut être considérée comme un grand paramètre du système. Lorsque celui ci tend vers l'infini, on parle de limite non-relativiste. Au premier ordrer, la limite non relativiste du système de Vlasov-Maxwell est le système de Vlasov-Poisson. Dans un premier chapitre, on établit une méthode itérative qui permet formellement d'obtenir des systèmes couplant l'équation de Vlasov à un système elliptique et formant une approximation non relativiste d'ordre arbitrairement élevé du système de Vlasov-Maxwell. Ces systèmes sont de plus bien posés dans certains espaces de Sobolev. Dans un second chapitre on démontre un résultat de limite non relativiste vers le système de Vlasov-Poisson sous des conditions ne portant que sur la densité macroscopique de charges. Pour ce faire on étudie une fonctionnelle quantifiant la distance de Wasserstein entre les solutions faibles des deux systèmes.
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