Percolation and first passage percolation : isoperimetric, time and flow constants
Percolation et percolation de premier passage : constante isopérimétrique, constante de temps et constante de flux
Résumé
In this thesis, we study the models of percolation and first passage percolation on the graph Zd, d≥2. In a first part, we study isoperimetric properties of the infinite cluster Cp of percolation of parameter p>pc. Conditioning on the event that 0 belongs to Cp, the anchored isoperimetric constant φp(n) corresponds to the infimum over all connected subgraph of Cp containing 0 of size at most nd, of the boundary size to volume ratio. We prove that n φp (n) converges when n goes to infinity towards a deterministic constant φp, which is the solution of an anisotropic isoperimetric problem in the continuous setting. We also study the behavior of the anchored isoperimetric constant at pc, and the regularity of the φp in p for p>pc. In a second part, we study a first interpretation of the first passage percolation model where to each edge of the graph, we assign independently a random passage time distributed according to a given law G. This interpretation of first passage percolation models propagation phenomenon such as the propagation of water in a porous medium. A law of large numbers is known: for any given direction x, we can define a time constant µG(x) that corresponds to the inverse of the asymptotic propagation speed in the direction x. We study the regularity properties of the µG in G. In particular, we study how the graph distance in Cp evolves with p. In a third part, we consider a second interpretation of the first passage percolation model where to each edge we assign independently a random capacity distributed according to a given law G. The capacity of G edge is the maximal amount of water that can cross the edge per second. For a given vector v of unit norm, a law of large numbers is known: we can define the flow constant in the direction v as the asymptotic maximal amount of water that can flow per second in the direction v per unit of surface. We prove a law of large numbers for the maximal flow from a compact convex source to infinity. The problem of maximal flow is dual to the problem of finding minimal cutset. A minimal cutset is a set of edges separating the sinks from the sources that limits the flow propagation by acting as a bottleneck: all its edges are saturated. In the special case where G({0})>1-pc, we prove a law of large numbers for the size of minimal cutsets associated with the maximal flow in a flat cylinder, where its top and bottom correspond respectively to the source and the sink
Dans cette thèse, nous étudions les modèles de percolation et percolation de premier passage dans le graphe Zd, d≥2. Dans une première partie, nous étudions les propriétés d'isopérimétrie du cluster infini Cp de percolation pour p>pc. Conditionnons par l'événement 0 appartient à Cp, la constante isopérimétrique ancrée φp(n)correspond à l'infimum sur l'ensemble des sous-graphes connectés de Cp, contenant 0 et de volume inférieur à nd, du ratio entre la taille du bord et le volume. Nous montrons la convergence lorsque n tend vers l'infini de nφp(n) vers une constante déterministe φp qui est solution d'un problème isopérimétrique anisotrope continu. Nous étudions également le comportement de la constante isopérimétrique ancrée en pc, ainsi que la régularité de φp en p pour p>pc. Dans une deuxième partie, nous considérons une première interprétation du modèle de percolation de premier passage où chaque arête du graphe est munie indépendamment d'un temps de passage aléatoire distribué selon une loi G. La percolation de premier passage modélise des phénomènes de propagation, par exemple la propagation de l’eau dans une roche poreuse. Une loi des grands nombres est connue : pour chaque direction x, on peut définir une constante de temps µG(x) qui correspond à l'inverse de la vitesse asymptotique de propagation dans la direction x. Nous étudions les propriétés de régularité de µG en G. En particulier, nous étudions comment la distance de graphe dans Cp évolue avec p. Dans une troisième partie, nous considérons une deuxième interprétation du modèle de percolation de premier passage où chaque arête du graphe est muni indépendamment d'une capacité aléatoire distribuée selon une loi G. La capacité d'une arête est la quantité maximale d'eau qui peut circuler dans l'arête par seconde. Pour v un vecteur unitaire, une loi des grands nombres existe : on peut définir la constante de flux dans la direction v comme étant le débit asymptotique maximal d'eau qui peut être envoyé dans la direction v par unité de surface. Nous montrons une loi des grands nombres pour le débit maximal d'eau qu'une source convexe compacte peut envoyer à l'infini. Le problème dual du flux maximal est celui des surfaces de coupures de capacité minimale, il s'agit d'ensembles d'arêtes séparant les sources des puits qui limitent la transmission du flux en agissant comme un goulot d'étranglement ; toutes leurs arêtes sont saturées. Dans le cas particulier où G({0})>1-pc, nous montrons une loi des grands nombres pour la taille des surfaces de coupure minimale liées au flux maximal dans un cylindre plat où le haut et le bas du cylindre correspondent respectivement à la source et au puits.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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