E-Polynomial of GLn⋊<σ>-character varieties - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2020

E-Polynomial of GLn⋊<σ>-character varieties

E-polynôme de la variété de GLn⋊<σ>-caractère

Résumé

Let σ be the transpose-inverse automorphism of GLn so that we have a semi-direct product GLn⋊<σ>. Let Y→X be a double covering of Riemann surfaces, which is exactly the unramified part of a ramified covering of compact Riemann surfaces. The non trivial covering transformation is denoted by τ. To each puncture (removed ramification point), we prescribe a GLn(C)-conjugacy class contained in the connected component GLn(C).σ . And we require the collection C of these conjugacy classes to be generic. Our GLn(C)⋊<σ>-character variety is the moduli of the pairs (L,Φ), where L is a local system on Y and Φ:L → τ*L* is an isomorphism, whose monodromy at the punctures are determined by C. We compute the E-polynomial of this character variety. To this end, we use a theorem of Katz and translate the problem to point-counting over finite fields. The counting formula involves the irreducible characters of GL_n(q)⋊<σ>, and so the l-adic character table of GL_n(q)⋊<σ> is determined along the way. The resulting polynomial is expressed as the in-ner product of certain symmetric functions associated to the wreath product (Z/2Z)^N⋊(S_N), with N=[n/2].
Soit σ l'automorphisme par transpose-inverse de GLn, qui définit un produit semi-direct GLn⋊<σ>. Soit Y→X un revê-tement double de surfaces de Riemann, qui est exactement la partie non ramifiée d'un revêtement ramifié de surfaces de Riemann compactes. L'élément non trivial de Gal(Y/X) sera noté τ. A chaque point ramifié enlevé, on associe une GLn(C)-classe de conjugaison contenue dans la composante connexe GLn(C).σ, et on exige que la famille C des classes de conjugaison soient générique. La variété de GLn(C)⋊<σ>-caractère que l'on a étudié est l'espace de module des pairs (L,Φ) formés d'un système local L sur Y et d'un isomorphisme Φ:L → τ*L*, dont les monodromies autour des points ramifiés sont déterminées par C. On calcule le E-polynôme de cette variété de caractère. A ce fin, on utilise un théorème de Katz, ce qui nous ramème au comptage des points sur corps finis. La formule de comptage fait intervenir les caractères irréductibles de GL_n(q)⋊<σ>, et donc la table des l-adic caractères de ce groupe est déterminée au fur et à mesure. Le polynôme qui en résulte s'exprime comme un produit scalaire de certaines fonctions symétriques associées au produit de couronne (Z/2Z)^N⋊(S_N), avec N=[n/2].
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-03188654 , version 1 (02-04-2021)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03188654 , version 1

Citer

Cheng Shu. E-Polynomial of GLn⋊<σ>-character varieties. Algebraic Geometry [math.AG]. Université Paris Cité, 2020. English. ⟨NNT : 2020UNIP7038⟩. ⟨tel-03188654⟩
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