Mean Field Limits in Quantum Mechanics - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2019

Mean Field Limits in Quantum Mechanics

Limites de champ moyen en mécanique quantique

Résumé

This thesis is devoted to the derivation and the study of several non-linear models in quantum mechanics. These models describe systems consisting of a large number of particles in the mean-field approximation. In the first part we study the validity of the some effective models describing a gas of dipolar bosons. We demonstrate that the ground state and ground state energy, as well as the time evolution, of a Bose-Einstein condensate are correctly described by the Gross-Pitaevskii theory at first order. For the dynamics, we also show that the second order is given by Bogoliubov's theory. Moreover, we also study the modified Gross-Pitaevskii functional including a quintic term accounting for the Lee-Huang-Yan corrections. The second part is devoted to the study of large fermionic systems. We first analyse the free energy of a fermionic gas at positive temperature in the semi-classical limit and we show that the latter and the approximate Gibbs states are given by Vlasov's theory at positive temperature. In a second time, we study the energy of heavy atoms in the non-relativistic limit where we compute the second term of its expansion, the Scott correction, for the Dirac-Fock model.
Cette thèse est consacrée à la dérivation et à l'étude de différents modèles non-linéaires en mécanique quantique. Ces modèles décrivent des systèmes à grand nombre de particules dans l'approximation de champ moyen. Dans une première partie, nous étudions la validité de modèles effectifs décrivant le gaz de bosons dipolaires. Nous montrons que l'état et l'énergie fondamentale, ainsi que la l'évolution temporelle, d'un condensat de Bose-Einstein sont correctement décrits au premier ordre par la théorie de Gross-Pitaevskii. Pour la dynamique, nous montrons que le second ordre est donné par la théorie de Bogoliubov. Nous étudions aussi la fonctionnelle de Gross-Pitaevskii dipolaire avec un terme de correction quintique prenant en compte les corrections de Lee-Huang-Yang. La seconde partie est consacrée à l'étude de limites semi-classiques pour les grands systèmes fermioniques. Nous nous intéressons d'abord à l'énergie libre d'un gaz de fermions dans la limite semi-classique et nous montrons que celle-ci, ainsi que les états de Gibbs approchés, sont donnés par la théorie de Vlasov à température positive. Nous étudions ensuite l'énergie d'un atome lourd dans la limite non-relativiste où nous calculons le second ordre de son développement, la correction de Scott, pour le modèle de Dirac-Fock.
Fichier principal
Vignette du fichier
2019PSLED071.pdf (6.3 Mo) Télécharger le fichier
Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-03220198 , version 1 (07-05-2021)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03220198 , version 1

Citer

Arnaud Triay. Mean Field Limits in Quantum Mechanics. Mathematical Physics [math-ph]. Université Paris sciences et lettres, 2019. English. ⟨NNT : 2019PSLED071⟩. ⟨tel-03220198⟩
117 Consultations
95 Téléchargements

Partager

Gmail Facebook X LinkedIn More