The Kinetic Fokker-Planck Equation : Hypocoercivity and Hypoellipticity
Equations de Fokker-Planck cinétiques : hypocoercivité et hypoellipticité
Résumé
This thesis mainly study the hypocoercivity and long time behaviour of kinetic equations. We first consider the kinetic Fokker-Planck equation with weak confinement force and a class of general force. We prove the existence and uniqueness of a positive normalized equilibrium (in the case of a general force) and establish some exponential rate or sub-geometric rate of convergence to the equilibrium (and the rate can be explicitly computed). Then we study convergence to equilibriumof the linear relaxation Boltzmann (also known as linear BGK) and the linear Boltzmann equations either on the torus or on the whole space with a confining potential. We present explicit convergence results in total variation or weighted total variation norms. The convergence rates are exponential when the equations are posed on the torus, or with a confining potential growing at least quadratically at infinity. Moreover, we give algebraic convergence rates when subquadratic potentials considered. We use a method known as Harris’s Theorem.
Cette thèse porte principalement sur l’hypocoercivité et le comportement à long terme d’équations cinétiques. Nous considérons d’abord l’équation cinétique de Fokker-Planck avec la force de confinement faible et une classe de force générale. Nous prouvons l’existence et l’unicité d’un équilibre normalisé positif (dans le cas d’une force générale) et établissons un certain taux exponentiel ou sous-géométrique de convergence vers l’équilibre (et le taux peut être explicitement calculé). Ensuite, nous étudions la convergence vers l’équilibre de la relaxation Boltzmann linéaire (également appelé BGK linéaire) et le équations de Boltzmann linéaire soit sur le tore ou sur tout l’espace avec un confinement potentiel.Nous présentons des résultats de convergence explicites au normes de variation total ou de variation totale pondérée.Les taux de convergence sont exponentiels lorsque les équations sont posées sur le tore ou avec un potentiel de confinement grandir au moins quadratiquement à l’infini. De plus, nous donnons taux de convergence algébrique lorsque les potentiels sousquadratiqué pris en considération. Nous utilisons le théorème de Harris.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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