Of Words & Numbers. The Writing of Generality in the Emergence of Enumerative Geometry (1852-1893)
Des mots & des nombres: l'écriture de la généralité dans l'émergence de la géométrie énumérative (1852-1893)
Résumé
This dissertation deals with the genesis and the reception of the “theory of characteristics,” a mathematical theory first formulated between 1864 and 1867 by French geometer Michel Chasles (1793-1880). This theory served to enumerate and construct, in a systematic and uniform manner, the conic sections satisfying five given geometrical conditions, without resorting to algebraic computations. This theory was for Chasles the culmination of a broader research programme, which he had undertaken throughout his lectures on Higher Geometry at the Sorbonne since 1846. Through his teaching, Chasles sought to reinvent the language and concepts of pure geometry, to provide it with a generality equivalent to that of algebra.
Chasles’s theory quickly circulated across mathematical Europe, and was reworked by many, including Hieronymus Zeuthen (1839-1920), Georges-Henri Halphen (1844-1889), Hermann Schubert (1848-1911), and Eduard Study (1862-1930). Amongst these readers, however, few shared Chasles’s epistemological positions; and many set out to rewrite the key concepts of the theory of characteristics with entirely new technical and notational means, and in the framework of other epistemological choices. From these simultaneous rewritings, a formula identified but not proven by Chasles emerged as problematic: it had been successively proven and refuted several times, and soon became the object of several controversies between 1867 and 1893. These controversies were more than technical disputes over a mathematical proposition: more profoundly, they revealed important disagreements over the epistemological value of generality in mathematics, over the way in which a general object is constructed in geometry, and over the textual practices through which said generality ought to be materialized on a page.
The first part of this thesis locates the genesis of this theory within the context of Chasles’s reflection on the history and philosophy of geometry, and in particular on the question of the generality of methods. Then, in a second part, we show that the reception of the theory of characteristics allows for a new perspective on the formation of modern mathematics, at the intersection of the cultural history of science and of the technical history of mathematical practices.
Cette thèse traite de la genèse et de la réception de la “théorie des caractéristiques”, une théorie mathématique formulée initialement entre 1864 et 1867 par le géomètre français Michel Chasles (1793-1880). Cette théorie visait à dénombrer et à construire, de manière systématique et uniforme, les sections coniques satisfaisant cinq conditions géométriques
données, sans recourir au calcul algébrique. En cela, elle s’inscrivait pour Chasles dans un programme de recherche plus large, qu’il avait entrepris notamment au sein des cours de Géométrie Supérieure qu’il donnait à la Faculté de Paris depuis 1846. Par son enseignement, Chasles cherchait à réinventer le langage et les concepts de la géométrie pure pour
lui donner une généralité équivalente à celle du calcul algébrique.
La théorie de Chasles connut une réception rapide à travers l’Europe mathématique, et elle fut retravaillée par, entre autres, Hieronymus Zeuthen (1839-1920), Georges-Henri Halphen (1844-1889), Hermann Schubert (1848-1911), et Eduard Study (1862-1930). Parmi ces lecteurs, toutefois, peu souscrivaient aux thèses philosophiques de Chasles ;
et beaucoup décidèrent de réécrire les concepts clefs de la théorie des caractéristiques au travers de tout nouveaux outillages techniques et notationnels, et dans des cadres informés par de toutes autres positions épistémologiques. Au fil de ces réécritures concurrentes, une formule identifiée mais non démontrée par Chasles se révéla être problématique : elle fut successivement prouvée et réfutée à plusieurs reprises, et devint ainsi l’objet de plusieurs controverses entre 1867 et 1893. Ces controverses étaient bien plus que des disputes techniques autour d’un point de mathématiques: plus profondément, elles traduisaient des désaccords importants autour de la valeur épistémologique de la généralité en mathématiques, de la façon dont on peut fabriquer en géométrie un objet général, et des pratiques textuelles par lesquelles ladite généralité doit être couchée sur le papier.
Dans un premier temps, cette thèse situe la genèse de cette théorie dans le contexte de la réflexion de Chasles sur l’histoire et la philosophie de la géométrie, et notamment sur le thème de la généralité des méthodes. La seconde partie de cette thèse s’attache alors à montrer que la réception de la théorie des caractéristiques permet une nouvelle perspective sur la formation des mathématiques modernes, à la croisée de l’histoire culturelle des sciences et de l’histoire technique des pratiques mathématiques.
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