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Thèse Année : 2021

Partial differential equations on graphs : continuum limits on sparse graphs and applications

Équations aux dérivées partielles sur les graphes : limites continues sur graphes parcimonieux

Résumé

The nonlocal p-Laplacian operator, the associated evolution equation and boundary value problem, governed by a given kernel, have applications in various areas of science and engineering. In particular, they have become modern tools for massive data processing (including signals, images, geometry), and machine learning tasks such as semi-supervised learning.In practice, these models are executed in discrete form (in space and time, or in space for the boundary value problem) as a numerical approximation to a continuous problem, where the kernel is replaced by an adjacency matrix of a graph. In this work, we first focus on the study of numerical approximations of these models. Combining tools from graph theory, convex analysis, Γ-convergence, nonlinear semigroup theory and evolution equations, we give a rigorous interpretation to the nonlocal continuous limit of the discrete nonlocal p-Laplacian evolution and boundary value problems on sparse graphs. Along the way, we provide consistency/error bounds. These results lead us to derive rate of convergence of solutions for the discrete models on K-random sparse graphs to the solution of the corresponding nonlocal problems on the continuum, as the number of vertices grows to infinity, and we highlight the influence of p, the sparsity of the graphon, and the regularity of initial/boundary data on the convergence rate.In the context of image processing, we introduce a class of the analogue p-bilaplacian operators on graphs. We then turn to study regularized variational and boundary value problems associated to these operators on graphs. In the same vein, we introduce a general class of nonlocal discrete perimeters as well as mean curvature flow. These lead us to translate and establish an adaptation of the mean curvature level set equations on a general discrete domain.
L'opérateur du p-Laplacien nonlocal régi par un noyau donné, l'équation d'évolution et le problème aux limites associés régies par un noyau donné ont des applications dans divers domaines de la science et de l'ingénierie. En particulier, ils sont devenus des outils modernes pour le traitement des données massives (y compris les signaux, les images, la géométrie) et dans les tâches d'apprentissage automatique telles que l'apprentissage semi-supervisé.En pratique, ces modèles sont implémentés sous forme discrète (en espace et en temps, ou en espace pour le problème aux limites) comme approximation numérique d'un problème continu, où le noyau est remplacé par la matrice d'adjacence d'un graphe. Dans ce travail, on se concentre dans un premier temps sur l'étude des approximations numériques de ces modèles. En combinant des outils de la théorie des graphes, de l'analyse convexe, Γ-convergence, de la théorie des semi-groupes nonlinéaires et des équations d'évolution, nous interprétons rigoureusement la limite continue du problème d'évolution et du problème aux limites du p-Laplacien discrets sur graphes parcimonieux. Ce faisant, on fournit des bornes d'erreur/consistance. Cela permit d'établir les taux de convergence nonasymptotiques en probabilité et en présentant le rôle de p, de la parcimonie du graphe, de la régularité des données initiales sur la vitesse de convergence.Dans le cadre du traitement d'image, nous introduisons une classe d'opérateurs analogiques à l'opérateur p-bilaplacien sur graphes. Nous nous tournons ensuite vers l'étude du problème de régularisation variationnels et le problème aux limites associés à ces opérateurs sur graphes. Dans le même cadre, nous introduisons une classe générale de périmètres discrets non locaux ainsi que la courbure moyenne. Ceux-ci, nous amènent à transcrire et établir une adaptation des équations d'ensembles de niveaux de courbure moyenne sur un domaine discret général.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-03407966 , version 1 (28-10-2021)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03407966 , version 1

Citer

Imad El Bouchairi. Partial differential equations on graphs : continuum limits on sparse graphs and applications. Analysis of PDEs [math.AP]. Normandie Université, 2021. English. ⟨NNT : 2021NORMC223⟩. ⟨tel-03407966⟩
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