Higher-Order Confluence and Universe Embedding in the Logical Framework
Confluence d'ordre supérieur et encodage d'univers dans le Logical Framework
Résumé
In the context of the multiplicity of formal systems, it has become a growing need to express formal proofs into a common logical framework.This thesis focuses on the use of higher-order term rewriting to embed complex formal systems in the simple and well-studied lambda-Pi calculus modulo.This system, commonly used as a logical framework, features dependent types and is extended with higher-order term rewriting.We study, in a first part, criterias for the confluence properties of higher-order rewrite systems considered together with the usual beta reduction.In the case of left-linear systems, confluence can be reduced to the study of critical pairs which must be provided a decreasing diagram with relation to some rule labeling.We show that in the presence of non-linear rules, it is still possible to achieve confluence if the set of considered terms is layered.We then focus, in a second part, on the encoding of higher-order logics based on complex universe structures. The embeding of cumulativity, a limited form of subtyping, is handled with new rewriting techniques relying on private symbols and allowing some form of proof irrelevance.We then describe how algebraic universe expressions containing level variables can be represented, even in presence of universe constraints.Eventually we introduce an embeding of universe polymorphism as defined in the core logic of the Coq system and prove the correctness of the defined translation mechanism.These results, along with other more practical techniques, allowed the implementation of a translator to Dedukti which was used to translate several sizeable Coq developments.
La multiplicité des systèmes formels a mis en évidence la nécessité d'un socle logique commun dans lequel les formalismes logiques pourraient être exprimés.L'enjeu principal de ce manuscrit est la définition de techniques d'encodages reposant sur la réécriture de termes et capables de réprésenter les fonctionnalités avancées des systèmes de types modernes.Nos encodages s'appuieront sur le lambda-Pi calcul modulo, un système de types dépendants, communément utilisé comme cadre logique, étendu ici par de laréécriture d'ordre supérieur. On s'intéresse, dans une première partie, aux critères de confluence de systèmes de réécriture avec la bêta réduction.La confluence d'un système linéaire à gauche se déduit de l'étude de ses paires critiques pour lesquelles il faut exhiber un diagramme décroissant vis-à-vis d'un certain étiquetage des règles.Le cas non-linéaire nécessite, lui, une compartimentalisation des termes considérés.On considère, dans un second temps, l'encodage de systèmes de types complexes.Sont étudiés successivement, la cumulativité qui nécessite de considérer des symboles privés pour encoder une forme de ``proof irrelevance'', les expressions algébriques d'univers sous contraintes d'univers et enfin le polymorphisme d'univers dont on prouve la correction d'une fonction de traduction depuis un sous-ensemble de Coq.L'implantation de ces résultats a permis de traduire en Dedukti plusieurs développements Coq de taille significative.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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