Special cubic hypersurfaces
Hypersurfaces cubiques spéciales
Résumé
The rationality problem of smooth cubic hypersurfaces of dimension four (cubic fourfolds for short) is one of the most challenging open problem in algebraic geometry. In this thesis, we were interested in special cubic fourfolds, that is cubic fourfolds containing a surface which is not homologous to a complete intersection. These cubic fourfolds are parametrized by a countable union of divisors C_d in the moduli space of cubic fourfolds C.First, we work on the theory of intersection of these divisors C_d in C. More precisely, we consider some classes of cubic fourfolds that are birational to fibrations over P^2, where the fibers are rational surfaces.The rationality of these fibered cubic fourfolds is strongly related to the rationality of these surfaces over the function field of P^2 and to the existence of rational sections of the associated fibration. By intersecting the divisors parametrizing these fibered cubic fourfolds with other ones whose elements are known to be rational, via lattice theory, we provide explicit description of these intersections in terms of irreducible components and we exhibit new examples of rational fibered cubic fourfolds such that the associated fibration doesn't have sections. Furthermore, we extend this intersection by giving necessary condition for up to 20 divisors to intersect. We apply this construction to build a countable infinity of one dimensional families of cubic fourfolds with finite dimensional Chow motives of abelian type inside every divisor C_d. This also implies abelianity and finite dimensionality of the motive of certain related Hyperkähler varieties.Then, we consider universal cubic fourfolds over certain divisors C_d in C. We propose two methods to prove their unirationality, for the divisors C_d, in the range 8<=d<=42.Finally, we study another family of Fano fourfolds, Gushel-Mukai fourfolds, and develop a general method to show the unirationality of the moduli spaces of m pointed (cubic or Gushel-Mukai) fourfolds.
Le problème de la rationalité des hypersurfaces cubiques lisses dans P^5 est un des problèmes les plus mystérieux en géométrie algébrique. On s’attend à ce que la cubique générale soit non rationnelle. Mais pour l’instant uniquement des exemples sporadiques d’hypersurfaces cubiques rationnelles sont connues. Dans cette thèse, nous nous intéressons surtout aux hypersurfaces cubiques spéciales c’est-à-dire des hypersurfaces cubiques contenant une surface algébrique non homologue à une intersection complète. Elles forment une union infinie dénombrable de diviseurs C_d (appelés diviseurs de Hassett) dans l’espace de modules des hypersurfaces cubiques C. Dans un premier temps, nous étudions l’intersection des diviseurs de Hassett C_d dans C. Nos résultats sont obtenus en se basant sur des calculs de réseaux. Plus précisément, nous considérons des diviseurs qui paramètrent des hypersurfaces cubiques birationnelles à des fibrations en surfaces sur P^2. La rationalité des hypersurfaces cubiques en question est équivalente à celle des surfaces sur le corps de fonctions de P^2 et souvent cela dépend de l’existence de sections rationnelles des fibrations sur P^2 associées. L'exemple plus facile est donné par une fibration en surfaces quadriques. En intersectant ces diviseurs avec d’autres (qui paramètrent des cubiques rationnelles), nous construisons alors de nouvelles classes d'exemples d’hypersurfaces cubiques qui: sont birationnelles à des fibrations en surfaces sur P^2, sont rationnelles, mais dont la fibration associée n'admet pas de sections. Par la suite, nous nous intéressons à l’intersection de plusieurs diviseurs et nous montrons que l’intersection de jusqu’à 20 diviseurs C_dk dans l’espace de modules C est non vide sous certaines conditions sur les discriminants dk. En s’appuyant sur ce dernier résultat et en utilisant certaines propriétés de surfaces K3 de rang de Néron-Severi 19, nous produisons dans chaque diviseur de Hassett C_d une infinité de familles de dimension 1 d'hypersurfaces cubiques, telles que leurs motifs de Chow sont de dimension finie et de type abélien. Nous obtenons un résultat semblable aussi pour certaines variétés de Hyperkähler associées aux cubiques. Ensuite, nous considérons les familles universelles de hypersurfaces au-dessus des diviseurs C_d. Nous proposons deux méthodes différentes pour démontrer l’unirationnalité de ces familles universelles pour 8 ≤ d ≤ 42. Finalement, nous étudions une autre classe de variétés de Fano, les variétés de Gushel-Mukai de dimension 4, et nous développons une méthode générale pour démontrer l’unirationalité de certains espaces de modules des variétés de Gushel-Mukai de dimension 4 avec m points marqués.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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