Shard polytopes and quotientopes for lattice congruences of the weak order
Polytopes de tessons et quotientopes pour les congruences de treillis de l’ordre faible
Résumé
In polyhedral combinatorics, some well-known polytopes are related to lattice congruences of the weak order. Two examples are the permutahedron and the associahedron. The normal fan of the permutahedron is the braid fan, given by the braid arrangement of the hyperplanes x_i = x_j for 1 ≤ i < j ≤ n. The normal fan of the classical associahedron is the sylvester fan. Since it coarsens the braid fan, the associahedron is a generalized permutahedron. Such relationships between polytopes are not limited to the braid fan. The cones of any real central hyperplane arrangement induce a fan that is the normal fan of a zonotope. Moreover, choosing one of the regions of that fan as the base region induces a partial order on all the regions, called the poset of regions, which is a lattice under certain circumstances. For the braid arrangement, this poset is isomorphic to the weak order on the symmetric group. For the Coxeter type B arrangement, it is isomorphic to the weak order on the hyper-ocathedral group.It was shown by N. Reading that applying a lattice congruence to a lattice of regions induces a quotient fan, where maximal cones are united if their corresponding lattice elements are equivalent under the lattice congruence. For example, the normal fan of the associahedron is a quotient fan induced by the sylvester congruence. A quotientope is a polytope whose normal fan is a quotient fan. Their existence was certified through a technical construction by V. Pilaud and F. Santos for those quotient fans based on the weak order on the symmetric group. The objective of this thesis is to study further constructions for quotientopes.Our first contribution concerns constructions as removahedra which are polytopes obtained by removing inequalities from the facet description of the permutahedron. We show that the permutreehedra are the only quotientopes that can be obtained as removahedra. Our second contribution is a simplified construction of arbitrary quotientopes as Minkowski sums of elementary polytopes we call shard polytopes due to their close relation with the shards of a hyperplane arrangement. Our construction can be adapted to construct quotientopes for all lattice congruences of the weak order on the hyper-octahedral group.
Dans la combinatoire polyédrale, plusieurs polytopes bien connus sont reliés à des congruences de treillis de l’ordre faible. Deux exemples sont le permutaèdre et l’associaèdre. L’éventail normal du permutaèdre est l’éventail de tresses, donné par l’arrangement de tresses des hyperplans x_i = x_j pour 1 ≤ i < j ≤ n. L’éventail normal de l’associaèdre est l’éventail sylvestre. Parce qu’il est raffiné par l’éventail de tresses, l’associaèdre est un permutaèdre généralisé. De telles relations entre polytopes ne se limitent pas à l’éventail de tresses. Les cônes de tout arrangement réel d’hyperplans linéaires induisent un éventail qui est l’éventail normal d’un zonotope. De plus, le choix d’une région de l’éventail comme région de base induit un ordre partiel sur les régions, appelé le poset des régions, qui est un treillis dans certaines circonstances. Pour l’arrangement de tresses, ce poset est isomorphe à l’ordre faible sur le groupe symétrique. Pour l’arrangement de Coxeter de type B, il est isomorphe à l’ordre faible sur le groupe hyper-octaédrique.N. Reading a montré qu’une congruence de treillis d’un treillis des régions induit un éventail quotient, où des cônes maximaux sont collés si leurs éléments de treillis correspondants sont équivalents sous la congruence de treillis. Par exemple, l’éventail normal de l’associaèdre est un éventail quotient induit par la congruence sylvestre. Un quotientope est un polytope dont l’éventail normal est un éventail quotient. Leur existence a été certifiée par une construction technique de V. Pilaud et F. Santos pour les éventails quotients basés sur l’ordre faible sur le groupe symétrique. L’objectif de cette thèse est d’étudier plus avant des constructions de quotientopes.Notre première contribution concerne les constructions comme enlevoèdres qui sont des polytopes obtenus en enlevant des inégalités de la description de facettes du permutaèdre. Nous montrons que les permutarbrèdres sont les seuls quotientopes qui peuvent être obtenus comme enlèvoedres. Notre deuxième contribution est une construction simplifiée de quotientopes arbitraires comme sommes de Minkowski de polytopes élémentaires que nous appelons polytopes de tessons en raison de leur étroite relation aux tessons d’un arrangement d’hyperplans. Notre construction peut être adaptée pour construire des quotientopes pour tout congruence de treillis de l’ordre faible sur le groupe hyper-octaédrique.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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