Quantitative large population approximations for stochastic models with interaction or varying environment
Approximation quantitative en grande population de modèles stochastiques avec interaction ou environnement variable
Résumé
This thesis focuses on the study of stochastic population models composed of individuals interacting between them or with the environment.In a first part, we consider cross-diffusion systems for two species. We develop a duality approach which allows to obtain quantitative stability estimates. We also introduce a stochastic individual-based model on a discrete space. The individuals follow random walks and they are sensitives to the number of individuals of the other species on the same site, with a linear dependence in their rates of motion. We stablish the convergence in law of the stochastic model towards the cross-diffusion systems when the number of individuals per site is greater than the square of the number of sites, assuming small initial conditions.In a second part, we obtain an explicit rate of convergence for some systems of mean-field interacting diffusions with logistic binary branching towards the solutions of non-local self-diffusion systems with logistic mass growth, that describe their large population approximations. The proof relies on a coupling argument for binary branching diffusions based on optimal transport, which allows us to approximate the trajectory of the interacting branching population by a system of independent particles with suitably distributed random space-time births.Finally, in a third part, we consider the reduced tree associated with birth and death processes in varying environments that gives the genealogical structure of the population. We describe geometrically this object by using the lookdown construction introduced by Kurtz and Rodrigues. By introducing a suitable coupling and distance, we approximate the genealogy in the large population regime.
Cette thèse se concentre sur l’étude de modèles stochastiques de populations composés d'individus interagissant entre eux ou avec leur environnement.Dans une première partie, nous considérons des systèmes de diffusion croisée pour deux espèces. Nous développons une approche par dualité qui permet d’obtenir des estimées quantitatives de stabilité. Nous introduisons également un modèle stochastique individu centré sur un espace discret. Les individus suivent des marches aléatoires et sont sensibles au nombre d’individus de l’autre espèce sur le même site, avec une dépendence linéaire dans leur taux de déplacement. Nous établissons la convergence en loi du modèle stochastique vers les systèmes à diffusion croisée lorsque le nombre d’individus par site est plus grand que le carré du nombre de sites, en supposant des données initiales petites.Dans une deuxième partie, nous obtenons un taux de convergence explicite pour certains systèmes de diffusions en interaction de type champ moyen avec branchement binaire logistique. La convergence en grande population a lieu vers les solutions de systèmes d’autodiffusion non locale avec croissance de masse logistique. La preuve repose sur un argument de couplage pour des diffusions branchantes binaires basé sur le transport optimal, qui nous permet d’approcher la trajectoire de la population branchante sous interaction par un système de particules indépendantes avec des naissances spatio-temporelles aléatoires convenablement distribuées.Finalement, dans une troisième partie, nous considérons l’arbre réduit associé aux processus de naissance et mort dans des environnements variables qui donne la structure généalogique de la population. Nous décrivons géométriquement cet objet en utilisant la construction lookdown introduite par Kurtz et Rodrigues. En introduisant un couplage et une distance adaptés, nous approchons la généalogie en grande population.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
|---|