Systems of PDEs and reflected BSDEs with interconnected obstacles and related optimal switching problems
Systèmes d’EDP et d’EDSR réfléchies à obstacles interconnectés et leurs liens avec les problèmes de switching optimal
Résumé
This thesis is devided into three parts. In the first part, we study a system of partial differential equations (pdes) with interconnected obstacles for which we establish a new existence and uniqueness result of continuous viscosity solution. The novelty is that we relax the so-called monotonicity condition on the generator. In particular cases, this system of pdes is nothing else but the hamilton jacobi bellman one associated with the stochastic optimal switching problem. In the second part, we study a system of second order integral-partial differential equations (ipdes) with interconnected obstacles with non-local terms, related to an optimal switching problem with jump-diffusion model. By getting rid of the monotonicity condition on the generators with respect to the jump component, we construct a continuous viscosity solution which is unique in the class of functions with polynomial growth. In our study, the main tool is the associated system of reflected backward stochastic differential equations (rbsdes) with jumps and interconnected obstacles for which we show the existence of a unique markovian solution. At last, we prove existence of a solution to a system of markovian rbsdes with jumps and interconnected obstacles. Our motivation is that we deal with the case when the lévy measure is not finite. In fact, under appropriate assumptions and using a truncation of the lévy measure, we show that the system of rbsdes has a markovian solution. Hence the feynman-kac representation holds true and provides a solution for the associated system of ipdes with interconnected obstacles.
La thèse est composée de trois parties. Dans la première partie, nous nous intéressons à l’étude du système d’équations aux dérivées partielles (edp) avec obstacles interconnectés. Nous montrons l’existence d’une unique solution de viscosité qui est continue et à croissance polynomiale, sans la condition de monotonie sur le générateur. Des cas particuliers de ce système d’edp ne sont rien d’autres que les systèmes d’hamilton jacobi bellman associés à un problème de switching optimal. Dans la seconde partie, nous considérons aussi un système d’edp avec obstacles interconnectés mais associé à un processus de diffusion avec sauts. En retirant la condition de monotonie sur le générateur par rapport à la composante de saut, nous montrons que si la mesure de lèvy associée au processus de poison est finie, le système d’edp admet une unique solution de viscosité. L’outil principal pour étudier le système en question est de considérer le système d’edsrs réfléchies avec sauts et à obstacles interconnectés pour lequel on montre l’existence d’une solution markovienne unique. Dans la dernière partie, nous traitons le cas où la mesure n’est pas finie. Nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes assurant l’existence d’une solution du système d’edsrs réfléchies avec sauts et à obstacles interconnectés. Ainsi nous en déduisons une représentation de feynman-kac ce qui donne une solution du système d’edp associé.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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