Scaling limits of branching and coalescing models arising in population biology
Limites d'échelle de modèles de branchement et de coalescence provenant de la biologie des populations
Résumé
This thesis introduces several stochastic population models, motivated by population genetics and epidemiology, and studies their large population size behavior. In Chapter 2 we consider the notion of comb, which can be seen as the planar embedding of an ultrametric measure space. We prove that any such space admits a comb representation, and that any exchangeable coalescent can be obtained by sampling from a comb. Chapter 3 studies the stationary distribution of a fragmentation-coalescence process known as Kingman's coalescent with erosion. We provide a representation of its asymptotic frequencies, and the limiting behavior of its block size distribution. Chapter 4 introduces a new model to study the impact of an Allee effect on the accumulation of deleterious mutations at the front of an expanding population. Some properties of the model are investigated using both analytical and numerical methods. Chapter 5 studies the branching approximation of a Wright-Fisher model with recombination. We provide an expression for the distribution of the block lengths and their location in a large chromosome, large population size limit. Finally, Chapter 6 and Chapter 7 are two variations of the same epidemic model, which is formulated in the framework of Crump-Mode-Jagers branching processes. In both chapters, we prove that the age of infection and compartment structure of the population converges to the solution of a partial differential equation of the McKendrick-von Foerster type. As an application of this result, Chapter 6 contains an estimation of some key epidemiological quantities of the COVID-19 epidemic in France, during the first lockdown period.
Cette thèse comporte six chapitres qui introduisent des modèles stochastiques motivés par la génétique des populations et l'épidémiologie, et étudient certaines de leurs propriétés en grande taille de population. Le chapitre 2 porte sur la notion de peigne, qui peut être vue comme une version planaire d'un espace ultramétrique mesuré et fait le lien qui existe entre ces espaces, les coalescents échangeables, et les peignes. Le chapitre 3 étudie la mesure stationnaire d'un processus appelé le coalescent de Kingman avec érosion. Nous y montrons une représentation de ses fréquences asymptotiques, ainsi que le comportement asymptotique de la distribution des tailles de ses blocs. Le chapitre 4 introduit un nouveau modèle pour étudier l'accumulation de mutations délétères dans une population en expansion spatiale, et étudie certaines de ses propriétés de façon analytique et numérique. Le chapitre 5 porte sur l'étude de l'approximation branchement d'un modèle de Wright-Fisher avec recombinaison. Il donne la loi limite de la longueur et la répartition des blocs le long du génome. Finalement, les chapitres 6 et 7 étudient deux variations du même modèle épidémiologique qui se base sur la théorie des processus de Crump-Mode-Jagers. Dans chacun des chapitres il est montré que la distribution des âges d'infection et des compartiments dans la population converge vers la solution d'une équation de McKendrick-von Foerster. Le chapitre 6 applique ce résultat à l'estimation de certains paramètres clés de l'épidémie de COVID-19 en France, durant le premier confinement.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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