On fractional partial differential equations, theory and applications
Sur quelques équations aux dérivées partielles fractionnaires, théorie et applications
Résumé
It is currently established that for general heterogeneous media, the classical Fick's law must be replaced by a nonlocal fractional differential operator. In such situations where anomalous diffusion occurs, the crucial difficulty is the identification of the correct order of the fractional differential operators. In the present paper, order identification of fractional differential operators is studied in the case of stationary and evolution partial differential equations. The novelty of our work is the determination of the exact problem satisfied by the derivative of the solution with respect to the differential order. More precisely, if the solution of our boundary value problem, with a fractional differential order α , is denoted by u (α), we show that (du(α))/dα satisfies the same problem, but with another source term. Our new result allows to carry out an exact computation of the cost functional derivative with respect to the order of derivation to perform more accurate and efficient steepest descent minimization algorithms. It can also be applied in optimal control theory and for sensitivity analysis frameworks. Our method is illustrated in two situations: Fractional Poisson's equation and Taylor-Couette flow problem with fractional time-derivative. In our second work, a generalized time-space fractional equation is considered. We consider the inverse problem of finding the solution of the equation and the source term knowing the spatial mean of the solution at any times with the initial and the boundary conditions. The existence and the continuity with respect to the data of the solution for the direct and the inverse problems are proved by Fourier's method and the Schauder fixed point theorem, in an adequate convex bounded subset. In the third work, fractional Sobolev spaces are introduced for Lipschitz domains in R^d,d≥1 and we show that these spaces represent the natural functional framework for boundary value problems with fractional partial differential operators involving Riemann-Liouville operators. Then, a variational problem is considered in tensor fractional Sobolev spaces such that proper generalized decomposition (PGD) can be performed. After establishing that our problem admits a unique solution in an adequate fractional Sobolev space, we show that the PGD reduction method allows a convergent algorithm toward the theoretical solution. This theoretical result is confirmed by numerical simulations on some boundary value problems. Finally, comparisons with classical methods are presented and we show that the PGD method is more efficient and quick.
Il est actuellement établi que pour les milieux hétérogènes généraux, la loi classique de Fick doit être remplacée par un opérateur différentiel fractionnaire non local, on parle alors de diffusion anormale. Dans les situations où l'on a une diffusion anormale, la difficulté cruciale est l’identification de l'ordre de dérivation pour les opérateurs différentiels fractionnaires. Dans le présent mémoire, l’identification de l’ordre des opérateurs différentiels fractionnaires est étudiée dans le cas des équations différentielles partielles stationnaires et d'évolution. La nouveauté de notre travail est la détermination du problème exact satisfait par la dérivée de la solution par rapport à l’ordre de dérivation. Plus précisément, si la solution du problème aux limites avec un ordre différentiel fractionnaire α est notée par u (α), nous montrons que (du(α))/dα satisfait le même problème, mais avec terme source différent. Notre résultat permet de déterminer la dérivée exacte de la fonction coût par rapport à l'ordre de dérivation et d'avoir ainsi des algorithmes de descente du gradient plus précis et plus efficaces. Il peut également être appliqué dans la théorie du contrôle optimal et l'étude de sensitivité paramétrique. Notre méthode est illustrée par des simulations numériques pour un problème aux limites stationnaire et un problème aux limites d'évolution : l’équation fractionnaire de Poisson et le problème d’écoulement de Taylor-Couette avec une dérivée fractionnaire en temps. Dans le second travail, on a considéré une équation fractionnaire spatio-temporelle. Nous considérons le problème inverse consistant à trouver la solution de l’équation et le terme source en connaissant la moyenne spatiale de la solution à tout instant, étant données la condition initiale et les conditions aux bords. L’existence et la continuité par rapport aux données de la solution des problèmes directs inverses sont prouvées par la méthode de Fourier et le théorème du point fixe Schauder, dans un sous-ensemble convexe adéquat. Dans notre troisième travail, les espaces fractionnaires de Sobolev sont introduits pour les domaines de Lipschitz dans Rd,d≥1 et nous montrons que ces espaces sont le cadre fonctionnel naturel pour les problèmes aux limites fractionnaires avec des opérateurs différentiels de Riemann-Liouville. Ensuite, un problème variationnel est considéré dans les espaces fractionnaires de Sobolev tensoriels où une décomposition progressive généralisée (PGD) peut être réalisée. Après avoir établi que notre problème admet une solution unique dans un espace de Sobolev fractionnaire adéquat, nous montrons que la méthode de réduction PGD fournit un algorithme qui converge vers la solution théorique. Ce résultat théorique est confirmé par des simulations numériques sur certains problèmes aux limites. Les comparaisons avec les méthodes classiques sont présentées et montrent que la méthode PGD est plus efficace et plus rapide.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
|---|