Reinforced processes, representation as a mixture of Markov processes, and interacting Brownian motions
Processus renforcés, représentation comme mélange de processus de Markov, et mouvement brownien interagissant
Résumé
His document concerns reinforced random processes, in particular the VRJP (vertex-reinforced jump process) and its representations as a Markov process in random environment. We first consider the issue of uniqueness of this representation. To this aim, we show that any representation can be expressed using the same random field "beta". We are then reduced to studying harmonic functions for an associated random Schrödinger operator, thanks to the notion of Martin boundary. We get results for the integer lattice as well as infinite trees. We are then interested in the link between this "\beta" field and hitting times for a family of interacting Brownian motions. We use this link, as well as a change of time variable, to show a multi-dimensional version of the so-called "opposite drift" theorem.
Cette thèse porte sur les processus aléatoires renforcés, en particulier le VRJP (processus de saut renforcé par sommet) et ses représentations comme un processus de Markov en environnement aléatoire. On s'intéresse d'abord à la question de l'unicité de cette représentation. Pour cela, on montre que toute représentation s'exprime à l'aide d'un même champ aléatoire "beta". On se ramène alors à étudier les fonctions harmoniques pour un opérateur de Schrödinger aléatoire associé, grâce à la notion de frontière de Martin. On obtient des résultats dans le cas du réseau à coordonnées entières, et celui des arbres infinis. Dans un second temps, on considère le lien entre le champ "beta" et les temps d'atteinte d'une famille de mouvements browniens interagissant. On utilise ce lien, ainsi qu'un changement de variable temporelle, pour montrer une version multi-dimensionnelle du théorème dit "des dérives opposées".
Domaines
Mathématiques générales [math.GM]| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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